Русская Википедия:Теорема Колмогорова о двух рядах

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Колмогорова о двух рядах в теории вероятностей задает достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых случайных величин. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Доказательство

Если <math>\sum D\xi_n < \infty </math>, то по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости <math>\sum(\xi_n - M\xi_n)</math> сходится. Но по предположению ряд <math>M\xi_n</math> сходится, поэтому сходится и ряд <math>\sum \xi_n</math>.

Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом "симметризации". Наряду с последовательностью <math>\xi_1, \xi_2 ...</math> рассмотрим не зависящую от неё последовательность случайных величин <math>\xi_1^', \xi_2^' ...</math> таких, что <math>\xi_n^'</math> имеет то же распределение, что и <math>\xi_n, n \geqslant 1</math>.

Тогда, если сходится ряд <math>\sum \xi_n</math>, то сходится и ряд <math>\sum \xi_n^'</math>, а значит, и ряд <math>\sum (\xi_n - \xi_n^')</math>. Но <math>M(\xi_n - \xi_n^')=0</math> и <math>P(|\xi_n - \xi_n^'| \leqslant 2c) = 1</math>. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости <math>\sum D(\xi_n - \xi_n^') < \infty</math>.

Далее <math>\sum D \xi_n = \frac{1}{2}\sum D(\xi_n - \xi_n^') < \infty</math>. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости с вероятностью единица сходится ряд <math>\sum(\xi_n - M\xi_n)</math>, а значит, сходится и ряд <math>\sum M \xi_n</math>.

Итак, из сходимости ряда <math>\sum \xi_n</math> (в предположении <math>P(|\xi_n | \leqslant c ) = 1, n \geqslant 1)</math> вытекает, что оба ряда <math>\sum M \xi_n</math> и <math>\sum D \xi_n</math> сходятся.

Литература

• Шаблон:Книга (Глава 4 § 2 раздел 1)