Русская Википедия:Теорема Колмогорова о трёх рядах
Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.
Определения
Пусть <math>c</math> — некоторая константа. Тогда
- <math>
\xi^c = \begin{cases} \xi, & |\xi|\leqslant c, \\ 0, & |\xi| > c. \end{cases} </math>
<math>I</math> — индикатор на множестве значений случайной величины.
Формулировка теоремы
Пусть <math>\xi_1,\xi_2 ...</math> — последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда <math>\sum \xi</math> необходимо, чтобы для любого <math>c > 0</math> сходились ряды
- <math>\sum \mathbb{E}\xi_{n}^{c},</math>
- <math>\sum D\xi_{n}^{c},</math>
- <math>\sum P(|\xi_n|\geqslant c)</math>
и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором <math>c>0</math>.
Доказательство
Достаточность
По теореме о двух рядах ряд <math>\sum \xi_{n}^{c}</math> сходится с вероятностью единица. Но если <math>\sum P(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math>, то по лемме Бореля — Кантелли с вероятностью единица <math>\sum I(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math>, а значит, <math>\xi_n = \xi_n^c</math> для всех <math>n</math>, за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд <math>\sum \xi</math> также сходится.
Необходимость
Если ряд <math>\sum \xi_n</math> сходится, то <math>\xi_n \rightarrow 0</math> и, значит, для всякого <math>c>0</math> может произойти не более конечного числа событий <math>{|\xi_n|\geqslant c}</math>. Поэтому <math>\sum I(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math> и по второй части леммы Бореля — Кантелли <math>\sum P(|\xi_n|\geqslant c)< \infty</math>. Далее, из сходимости ряда <math>\sum \xi_n</math> следует и сходимость ряда <math>\sum \xi_n^c</math>. Поэтому по теореме о двух рядах каждый из рядов <math>\sum \mathbb{E}\xi_{n}^{c}</math> и <math>\sum D\xi_{n}^{c}</math> сходится.
Следствие
Пусть <math>\xi_1, \xi_2 ...</math> — независимые случайные величины с <math>\mathbb{E}\xi_n = 0</math>. Тогда, если
- <math>\sum \mathbb{E} \frac{\xi_n^2}{1+ |\xi_n|} < \infty,</math>
то ряд <math>\sum \xi_n</math> сходится с вероятностью единица.
Пример
В качестве примера рассмотрим случайный гармонический ряд:
- <math> \sum_{n=1}^\infty \pm \frac{1}{n}</math>
где «<math>\pm</math>» означает, что знак каждого члена <math>1/n</math> выбран случайно, независимо, и с вероятностями <math>1/2</math>, <math>1/2</math>. Выбрав в качестве <math>\xi_n</math> ряд, членами которого являются <math>1/n</math> и <math>-1/n</math> с равными вероятностями, легко убедиться, что он удовлетворяет условиям теоремы и сходится с вероятностью единица. C другой стороны, аналогичный ряд обратных квадратных корней со случайными знаками:
- <math> \sum_{n=1}^\infty \pm \frac{1}{\sqrt{n}},</math>
расходится с вероятностью единица, так как ряд <math>\sum D\xi_{n}^{c}</math> расходится.
Литература
- Шаблон:Книга (Глава 4 § 2 раздел 1)
Ссылки
