Русская Википедия:Теорема Колмогорова — Арнольда
Теорема Колмогорова — Арнольда — теорема из анализа действительного переменного и теории приближений, гласит, что каждая многомерная непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Она решает в более общем виде тринадцатую проблему Гильберта.[1][2]
Трудами Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда установлено, что если f — это многомерная непрерывная функция, то f можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения.[3] А именно,
- <math> f(\mathbf x) = f(x_1, \ldots ,x_n) = \sum_{q=0}^{2n} \Phi_{q}\left(\sum_{p=1}^{n} \phi_{q,p}(x_p)\right).</math>
Построение доказательства, и даже более конкретные конструкции, можно найти в работе Брауна и Грибеля[4].
В каком-то смысле, Колмогоров и Арнольд показали, что единственная истинная функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с использованием функций одной переменной и сложения.[5]
История
Теорема Колмогорова — Арнольда тесно связана с 13-й проблемой Гильберта. В его парижской лекции на Международном конгрессе математиков в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики.[6] В 13-й из этих проблем задача состояла в решении общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 корни можно вычислить по формулам, которые содержат только радикалы и арифметические операции (то есть такие уравнения разрешимы в радикалах). Для более высоких порядков теория Галуа показывает, что решения алгебраических уравнений нельзя выразить в терминах базовых алгебраических операций. Из преобразований Чирнгауза следует, что общее алгебраическое уравнение
- <math>x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0</math>
можно перевести в форму <math>y^n + b_{n-4} y^{n-4} + \dots + b_1 y + 1 = 0</math>. Преобразование Чирнгауза определяется по формуле, содержащей только радикалы и арифметические операции и преобразования. Таким образом, решение алгебраического уравнения степени <math>n</math> можно представить в виде суперпозиции функций двух переменных, если <math>n < 7</math>, и как суперпозиции функций <math>n - 4</math> переменных, если <math>n \geqslant 7</math>. Для <math>n = 7</math> решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалы, и решения уравнения <math>y^7 + b_3 y^3 + b_2 y^2 + b_1 y + 1 = 0</math>.
Дальнейшее упрощение алгебраических преобразований, кажется, невозможно, что вело к гипотезе Гильберта, о том что «решение общего уравнения степени 7 нельзя представить в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение тринадцатой проблемы Гильберта к представлению многомерных функций в виде суперпозиции функций низкой размерности. В этом контексте, это стимулировало многочисленные исследования в области теории функций и других связанных проблем разными авторами.[7]
Варианты теоремы Колмогорова — Арнольда
Вариант теоремы Колмогорова, который уменьшает количество внешних функции <math>\Phi_q</math>, принадлежит Джорджу Лоренцу.[8] Он показал в 1962 году, что внешние функции <math>\Phi_q</math> можно заменить на одну функцию <math>\Phi</math>. Точнее, Лоренц доказал существование функций <math>\phi_{q,p}</math>, <math>q = 0, 1, \ldots, 2n</math>, <math>p = 1, \ldots, n,</math> таких, что
- <math>f(\mathbf x) = \sum_{q=0}^{2n} \Phi\left(\sum_{p=1}^{n} \phi_{q,p}(x_p)\right).</math>
Шпрехер[9] заменил внутренние функции <math>\phi_{q,p}</math> на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах. Он доказал, что существуют действительные значения <math>\eta, \lambda_1, \ldots, \lambda_n</math>, непрерывная функция <math>\Phi \colon \R \to \R</math> и действительная возрастающая непрерывная функция <math>\phi \colon [0, 2] \to \R</math> с <math>\phi \in \operatorname{Lip}\big(\ln 2/\ln(2N + 2)\big)</math> для <math>N \geqslant n \geqslant 2</math> такие, что
- <math>f(\mathbf x) = \sum_{q=0}^{2n} \Phi\left(\sum_{p=1}^{n} \lambda_p \phi(x_p + \eta q) + q\right).</math>
Филлип А. Остранд[10] обобщил теорему Колмогорова на компактные метрические пространства. Для <math>p = 1, \ldots, m</math> пусть <math>X_p</math> — компактные метрические пространства конечной размерности <math>n_p</math>, и пусть <math>n = \sum_{p=1}^{m} n_p</math>. Тогда существует непрерывная функция <math>\phi_{q,p} \colon X_p \to [0, 1],\ q = 0, \ldots, 2n,\ p = 1, \ldots, m</math> и непрерывные функции <math>G_q \colon [0, 1] \to \R,\ q = 0, \ldots, 2n</math> такие, что любая непрерывная функция <math>f \colon X_1 \times \dots \times X_m \to \mathbb{R}</math> представима в виде
- <math>f(x_1, \ldots, x_m) = \sum_{q=0}^{2n} G_q\left(\sum_{p=1}^{m} \phi_{q,p}(x_p)\right).</math>
Оригинальные ссылки
- Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Известия АН СССР, 108 (1956), с. 179—182; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 17 (1961), p. 369—373.
- Владимир Арнольд, «О функции трех переменных», Известия АН СССР, 114 (1957), p. 679—681; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 28 (1963), p. 51—54.
Дальнейшее чтение
- S. Ya. Khavinson, Best Approximation by Linear Superpositions (Approximate Nomography), AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)
Ссылки
