Русская Википедия:Теорема Коши — Ковалевской
Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.
Формулировка
Рассмотрим пространство <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>. Точку пространства <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> будем обозначать через <math>(x, t) = (x_{1},..., x_{n}, t)</math>, а точку, принадлежащую <math>\mathbb{R}^n</math>, через <math>x = (x_{1},..., x_{n})</math>. Обозначим оператор частного дифференцирования
- <math>L \equiv \left ( \frac{d}{dt} \right )^{m} + \sum_{|\nu|+j \leqslant m, j \leqslant m - 1} a_{\nu, j}(x, t) \left ( \frac{d}{dx} \right )^{\nu} \left ( \frac{d}{dt} \right )^{j}.</math>
Предположим, что коэффициенты оператора <math>L</math> определены в окрестности <math>U</math> начала координат в пространстве переменных <math>(x, t)</math> и являются аналитическими функциями. Пусть функция <math>f</math> также аналитична в <math>U</math>. Пусть вектор <math>\Psi</math> начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат <math>x</math> — пространства. Тогда существуют окрестность <math>W</math> начала координат и единственная аналитическая функция <math>u(x,t)</math>, определённая в <math>W</math>, для которой
- <math>Lu=f, (x,t) \mathcal {2} W, \left ( \frac{d}{dt} \right )^j u(x, 0)=u_j(x), x \mathcal {2} W \cap \mathcal {f} t=0 \mathcal {g} \qquad (j=0, 1, 2,..., m-1).\qquad (1)</math>
Доказательство
Положим
- <math>\tilde{u}(x,t)=u(x,t)-\sum_{j=0}^{m-1}\frac{t^j}{j!}u_j(x).</math>
Тогда из <math>(1)</math> вытекает, что
- <math> L[\tilde{u}] = f - \sum_{j=0}^{m-1} L\left[ \frac{t^j}{j!} u_{j}(x) \right].</math>
Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для <math>u(x, t)</math> равны нулю. Перепишем <math>(1)</math> в виде
- <math>\left ( \frac{d}{dt} \right )^m u(x,t)= \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (x, t; \frac{d}{dx})\left (\frac{d}{dt} \right )^j u(x,t)+f(x,t), \qquad (2)</math>
где <math>{\alpha}_{j}(x, t; {\xi})</math> — полином по <math>\xi</math> степени <math>m-j</math>, коэффициенты которого аналитичны в окрестности <math>U</math> начала координат. Легко видеть, что коэффициенты <math>c_{\nu,j}</math> разложения в ряд Тейлора
- <math>u(x,t)=\sum_{j \geqslant m; \nu} c_{\nu, j}x^{\nu}t^j \qquad (3)</math>
определяются однозначно уравнением <math>(2)</math> и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда <math>(3)</math>.
Для доказательства сходимости ряда <math>(3)</math> используются мажорантные ряды и полиномы. Функция <math>F(x,t)</math> называется мажорантным рядом для <math>f(x,t)</math> в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты <math>C_{\mu, j}</math> её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов <math>c_{\mu, j}</math> разложения функции <math>f(x,t)</math> в ряд Тейлора, то есть <math>C_{\mu, j} \geqslant | c_{\mu, j} |</math>.
История
Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.
См. также
Литература
- C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.
- О.А. Олейник Теорема С.В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными // Соросовский образовательный журнал, 1997, № 8, стр. 117
