Русская Википедия:Теорема Кёнига (механика)
Шаблон:Значения Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.Шаблон:Sfn
Формулировка
Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:
- <math>{T\;=\;T_0 + T_r}\;,</math>
где <math>T</math> — полная кинетическая энергия системы, <math>T_0</math> — кинетическая энергия движения центра масс, <math>T_r</math> — относительная кинетическая энергия системыШаблон:Sfn.
Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.
Более точная формулировка[1]: Шаблон:Начало цитаты Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс. Шаблон:Конец цитаты
Вывод
Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему <math>S</math>, распределены непрерывноШаблон:Sfn.
Найдём относительную кинетическую энергию <math>T_r</math> системы <math>S</math>, трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть <math>\vec \rho</math> — радиус-вектор рассматриваемой точки системы <math>S</math> в подвижной системе координат. ТогдаШаблон:Sfn:
- <math>T_r\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;,</math>
где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.
Если <math>\vec r_0</math> — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а <math>\vec r</math> — радиус-вектор рассматриваемой точки системы <math>S</math> в исходной системе координат, то верно соотношение:
- <math>\vec r\;=\;\vec r_0 + \vec \rho\;.</math>
Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:
- <math>T\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;=\;\frac{1}{2}\int \left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\cdot\left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\,{\rm d}m\;.</math>
Учитывая, что радиус-вектор <math>\vec r_0</math> одинаков для всех <math> {\rm d}m</math>, можно, раскрыв скобки, вынести <math>\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}</math> за знак интеграла:
- <math>T\;=\;\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\int \,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;.</math>
Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироватьсяШаблон:Sfn как кинетическая энергия движения центра масс.
Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём равен импульсу системы относительно центра масс, который равен нулю.
Третье же слагаемое, как было уже показано, равно <math>T_r</math>, то есть относительной кинетической энергии системы <math>S</math>.
См. также
- Иоганн Самуэль Кёниг
- Теорема о движении центра масс системы
- Кинетическая энергия
- Закон сохранения энергии
Примечания
Литература
