Русская Википедия:Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Формулировка

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в <math>6N</math>-мерном фазовом пространстве (<math>N</math> — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами <math>q_i</math> и сопряжёнными импульсами <math>p_i</math>, где <math>i = 1, \dots, d,</math> <math>d = 3N</math>. Тогда распределение в фазовом пространстве <math>\rho(p_i, q_i)</math> определяет вероятность <math>\rho(p, q)\,\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp</math> того, что система будет находиться в элементе объёма <math>\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp</math> своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию <math>\rho(p_i, q_i; t)</math> во времени <math>t</math> согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

<math>\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial\rho}{\partial p_i} \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right) = 0.</math>

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

<math>\dot{q}_i \equiv \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p_i},</math>

<math>\dot{p}_i \equiv \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.</math>

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция <math>\rho</math> определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla(\rho\,\mathbf{v}) = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \rho \operatorname{div}\mathbf{v} + \mathbf{v} \operatorname{grad}\rho = 0,</math>

где <math>\mathbf{v}</math> — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

<math>\nabla(\rho\,\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i} + \frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)</math>

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

<math>\rho \operatorname{div}\mathbf{v} = \rho \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right) = \rho \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i\,\partial q_i}\right) = 0,</math>

где <math>H</math> — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности <math>d\rho/dt</math> равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей <math>(\dot p, \dot q)</math> в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — <math>p_i</math> — но сжимается по другой координате <math>q_i </math> так, что произведение <math>\Delta p_i \, \Delta q_i </math> остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём <math>\Gamma</math> сохраняется при сдвигах времени. Если

<math>\int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C,</math>

и <math>\Gamma(t)</math> — множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество <math>\Gamma</math> в момент времени <math>t</math>, тогда

<math>\int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C</math>

для всех времён <math>t</math>. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Через симплектическую форму

Пусть <math>(M,\omega)</math> — симплектическое многообразие и <math>H\colon M\to \R</math> — гладкая функция. Пусть <math>V</math> есть симплектический градиент <math>H</math>, то есть векторное поле удовлетворяющее соотношению

<math>dH(X)=\omega(V,X)</math>

для любого векторного поля <math>X</math>. Тогда

<math>\mathcal{L}_V\omega=0,</math>

где <math>\mathcal{L}</math> обозначает производную Ли.

Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что

<math>\mathcal{L}_V\omega^{\wedge n}=0,</math>

а если <math>M</math> — <math>2n</math>-мерно, то <math>\omega^{\wedge n}</math> является формой объёма на <math>M</math>.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

<math>N = \int d^dq\,d^dp\,\rho(p, q)</math>

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил <math>\mathbf{F}</math> с координатами <math>\mathbf{x}</math> и импульсами <math>\mathbf{p}</math>, теорему Лиувилля можно записать в виде

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_\mathbf{x}\rho + \frac{\mathbf{F}}{m} \cdot \nabla_\mathbf{p}\rho = 0,</math>

где <math>\mathbf{v} = \dot{\mathbf{x}}</math> — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил <math>\mathbf{F}</math>.

В классической статистической механике число частиц <math>N</math> велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае <math>\partial\rho/\partial t = 0</math> можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения <math>\rho</math> равна любой функции гамильтониана <math>H</math>, например, в распределении Максвелла-Больцмана <math>\rho \sim e^{-H/kT}</math>, где <math>T</math> — температура, <math>k</math> — постоянная Больцмана.

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах <math>(q^i, p_j)</math> вид

<math>\{A, B\} = \sum_{i=1}^N \left(

-\frac{\partial A}{\partial q^{i}} \frac{\partial B}{\partial p_{i}}
+\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial B}{\partial q^{i}}

\right),</math> уравнение Лиувилля (другое название: уравнение Лиувилля — фон Неймана) для гамильтоновых систем приобретает вид

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\{\rho, H\}.</math>

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

<math>i \hat{L} = \sum_{i=1}^d \left[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}\right]</math>

уравнение для гамильтоновых систем приобретает вид

<math>\frac{\partial \rho }{\partial t} + i \hat{L} \rho = 0.</math>

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

<math>\frac{\partial}{\partial t}\rho= \frac{1}{i \hbar}[H,\rho],</math>

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

<math>\sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial}{\partial p_i} \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right) = 0,</math> 

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

<math>\dot{q}_i = Q_i(\mathbf p, \mathbf q, t), \quad \dot{p}_i = P_i(\mathbf p, \mathbf q, t)</math> 

уравнение для эволюции во времени плотности <math>\rho(\mathbf p, \mathbf q, t)</math> распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

<math>\rho(\mathbf p', \mathbf q', t') \,d\Lambda' = \rho(\mathbf p, \mathbf q, t) \,d\Lambda,</math> 

<math>

t' = t + dt, \quad
p_i' = p_i + P_i \,dt, \quad
q_i' = q_i + Q_i \,dt, \quad
d\Lambda' = d\Lambda\left[1 + dt \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial P_i}{\partial p_i}\right)

\right] </math> 

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial(\rho Q_i)}{\partial q_i} + \frac{\partial(\rho P_i)}{\partial p_i}\right) = 0</math>

(см. также Уравнение Фоккера — Планка) и в случае  <math>Q_i = \partial H/\partial p_i,\ P_i = -\partial H/\partial q_i</math> совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана