Русская Википедия:Теорема Рауса

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Routh theorem2.svg

Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами. Теорема утверждает, что если в треугольнике <math>ABC</math> точки <math>D</math>, <math>E</math> и <math>F</math> лежат на сторонах <math>BC</math>, <math>CA</math> и <math>AB</math> соответственно, то, обозначив <math>\tfrac{CD}{BD} </math><math>= x</math>, <math>\tfrac{AE}{CE} </math><math>= y</math> и <math>\tfrac{BF}{AF} </math><math>= z</math>, ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами <math>AD</math>, <math>BE</math> и <math>CF</math> по отношению к площади треугольника <math>ABC</math> выражается соотношением

<math>\frac{(xyz - 1)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)}</math>

Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае, <math> x = y = z = 2</math> теорема представляет собой известную теорему об one-seventh area triangle. В случае <math> x = y = z = 1</math> медианы пересекаются в центроиде.

Доказательство

Файл:Routh theorem 1.svg

Положим площадь треугольника <math>ABC</math> равной <math>1</math>. Для треугольника <math>ABD</math> и линии <math>FRC</math>, используя теорему Менелая, получим:

<math>\frac{AF}{FB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DR}{RA} = 1</math>

Тогда <math>\frac{DR}{RA} = \frac{BF}{FA} \times \frac{DC}{CB} = \frac{zx}{x+1}</math> Поэтому площадь треугольника <math>ARC</math> равна

<math>S_{ARC} = \frac{AR}{AD} S_{ADC} = \frac{AR}{AD} \times \frac{DC}{BC} S_{ABC} = \frac{x}{zx+x+1}</math>

Аналогично, получаем: <math>S_{BPA} = \frac{y}{xy+y+1}</math> и <math>S_{CQB} = \frac{z}{yz+z+1}</math> Таким образом, площадь треугольника <math>PQR</math> равна:

<math>\displaystyle S_{PQR} = S_{ABC} - S_{ARC} - S_{BPA} - S_{CQB} </math>
<math>= 1 - \frac{x}{zx+x+1} - \frac{y}{xy+y+1} - \frac{z}{yz+z+1} </math>
<math>=\frac{(xyz - 1)^2}{(xz + x + 1)(yx + y + 1)(zy + z + 1)}.</math>

Ссылки

  • Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh’s theorem», Crux Mathematicorum 7:199-203.
  • H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219-220, 2nd edition, Wiley, New York.
  • J. S. Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh’s theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
  • Jay Warendorff. Routh’s Theorem The Wolfram Demonstrations Project.
  • Шаблон:MathWorld
  • Routh’s Theorem by Cross Products - MathPages
  • Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh’s theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.