Русская Википедия:Теорема Фогта
Теорема Фогта устанавливает соотношения между граничными углами плоской кривой с монотонно изменяющейся кривизной (спиральной дуги) в зависимости от возрастания / убывания кривизны.
Названа в честь немецкого математик Вольфганга Фогта (Wolfgang Wilhelm Vogt, 1883—1916).
Формулировка В. Фогта
В оригинальной статье[1] (Satz 12) теорема сформулирована так: Шаблон:Начало цитаты Пусть <math>A</math> и <math>B</math> – две последовательные точки пересечения кривой с монотонной кривизной и прямой <math>g</math>, <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — углы между хордой <math>AB</math> и касательными лучами в точках <math>A</math> и <math>B</math>, лежащими с той же стороны от <math>g</math>, что и дуга <math>\overset{\frown}{AB}</math>. Тогда угол <math>\alpha</math> больше, меньше, или равен <math>\beta</math>, соответственно тому, возрастает ли кривизна от <math>A</math> до <math>B</math>, убывает ли, или остаётся постоянной. Шаблон:Конец цитаты
В статье[1] (как и в монографии[2], Theorem 3-17) рассматриваются только выпуклые кривые[3] с непрерывной кривизной <math>k(s)</math>. Требование выпуклости означает знакопостоянство кривизны (отсутствие у кривой точки перегиба). По сути, в этой формулировке речь идёт об абcолютных величинах кривизны <math>|k(s)|</math> и углов <math>|\alpha|,\,|\beta|</math>. Другие доказательства этой теоремы в тех же предположениях даны в статьях[4], [5], [6].
Теорему иллюстрирует левая колонка рисунка 1.
Модифицированная формулировка теоремы
Модифицированная версия теоремы Фогта (см.[7], теорема 1)
- рассматривает углы <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> как ориентированные, измеренные относительно направления хорды <math>\overrightarrow{AB}</math>;
- формулируется с учётом естественного знака кривизны (в смысле <math>k(s)=\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}s},</math> где <math>\tau(s)</math> — угол наклона касательной к кривой);
- не требует непрерывности и знакопостоянства кривизны;
- распространяется не только на выпуклые спиральные дуги, но и на все короткие спирали — те, которые не закручиваются вокруг концевых точек, то есть не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой (хотя могут пересекать саму хорду, как кривая <math>A_6B_6</math> на рис. 1).
Формулировка: Шаблон:Начало цитатыПусть <math>k_1</math> — кривизна короткой спирали <math>\overset{\frown}{AB}</math> в начальной точке <math>A</math>, <math>k_2</math> — её кривизна в конечной точке <math>B</math>. Тогда
- <math>\sgn(k_2-k_1)=\sgn(\alpha+\beta),\qquad\qquad(1)</math>
или, подробнее, для случаев возрастающей и убывающей кривизны,
- <math>
\begin{array}{llcc}
\text{если}\quad k_1 < k_2{:}\quad& \alpha{+}\beta>0,\quad &
-\pi < \alpha \le \pi,\; & -\pi < \beta \le \pi; \\
\text{если}\quad k_1 > k_2{:}\quad& \alpha{+}\beta<0,\quad &
-\pi \le \alpha < \pi,\; & -\pi \le \beta < \pi.
\end{array}\qquad\qquad(2)
</math> Шаблон:Конец цитаты Правая колонка рисунка 1 иллюстрирует модифицированную версию теоремы Фогта (для случая убывающей кривизны). К примеру, кривые <math>A_1B_1</math> и <math>A_4B_4</math> на рис. 1 одинаковы и имеют отрицательную убывающую кривизну: <math>0>k_1>k_2</math>. Неравенства Фогта, <math>k_1<k_2\;\Rightarrow\;\alpha>\beta,</math> подразумевают <math>|k_1|<|k_2|\;\Rightarrow\;|\alpha|>|\beta|,</math> что, с учётом знаков кривизн и ориентированных углов, означает <math>{-k_1}<{-k_2}\;\Rightarrow\;\alpha>{-\beta},</math> или <math>k_1>k_2\;\Rightarrow\;\alpha+\beta<0,</math> в соответствии с (1).
Отразив кривые 4-7 симметрично относительно хорды (что влечёт смену знаков у <math>k_1,k_2,\alpha,\beta</math>), получим примеры с возрастающей кривизной.
Геометрический смысл суммы <math>\alpha+\beta</math>
Пусть по короткой спирали <math>\overset{\frown}{AB}</math> движется точка от <math>A</math> к <math>B.</math> Для каждого положения <math>P(s)</math> подвижной точки построим круговую дугу <math>\overset{\frown}{APB}</math> (рис. 2). Угол наклона касательной к этой дуге в точке <math>A</math> обозначим <math>\varphi(s)</math>.
- Функция <math>\varphi(s)</math> строго монотонна; <math>\lim\limits_{P\to A}\varphi(s)=\alpha,</math> <math>\lim\limits_{P\to B}\varphi(s)=-\beta.</math>
- Дуги <math>\overset{\frown}{APB}</math> заметают линзу — область, ограниченную двумя круговыми дугами, опирающимися на хорду <math>AB</math>, одна из которых имеет со спиралью общую касательную в точке <math>A</math>, вторая — в точке <math>B.</math>
- Любая короткая спираль с граничными углами <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> заключена внутри линзы (теорема 2 в[7]).
- Сумма <math>\sigma=\alpha+\beta</math> равна по модулю угловой ширине линзы, а её знак соответствует возрастанию<math>{}^{(+)}</math>/ убыванию<math>{}^{(-)}</math> кривизны.
Обобщение теоремы
Дальнейшее обобщение теоремы Фогта касается сколь угодно закрученных спиралей, для чего углы <math>\alpha,\,\beta</math> переопределяются в кумулятивном смысле, как «углы, помнящие свою историю».
Рассмотрим на спирали <math>\overset{\frown}{AB}</math> длины <math>S</math> точку <math>P(s)</math>, движущуюся от <math>A=P(0)</math> к <math>B=P(S)</math>. Для достаточно малой (короткой) дуги <math>\overset{\frown}{AP}(s)</math> значения граничных углов <math>\alpha(s)</math> и <math>\beta(s)</math>, измеренных относительно направления подвижной хорды <math>\overrightarrow{AP}(s),</math> близки к нулю, и при удалении точки <math>P</math> от <math>A</math> они могут достичь значений <math>\pm\pi.</math> Договоримся о сохранении непрерывности функций <math>\alpha(s)</math> и <math>\beta(s)</math> при достижении значений, кратных <math>\pi.</math> Обозначим
- <math>\widetilde\alpha=\alpha(S),\quad\widetilde\beta=\beta(S).</math>
Так, на рис. 3 угол <math>\beta(s)</math> достигает значения <math>+\pi</math>, когда точка <math>P(s)</math> достигает положения <math>P_8</math>, после чего <math>\beta(s)>\pi</math>.
В статье[8] (теорема 1) показано, что сумма <math>\sigma(s) = \alpha(s) + \beta(s)</math> есть монотонная функция длины дуги, возрастающая или убывающая как и кривизна <math>k(s)</math>. Функция <math>\sigma(s)</math> строго монотонна, за исключением начального участка постоянной кривизны (если таковой имеется), в пределах которого <math>\sigma(s) \equiv 0.</math> Тем самым формулировка (1) распространяется и на длинные спирали в виде
- <math>\sgn(k_2-k_1)=\sgn(\widetilde\alpha+\widetilde\beta).</math>
Связанные утверждения[8]:
- При дробно-линейном отображении спирали значение <math>\sigma</math> сохраняется.
- Вариация поворота спирали ограничена неравенствами <math>|\sigma| < \mathrm{Var}\,\tau(s) < |\sigma|+ 2\pi</math> и остаётся в этих пределах при инверсии спирали.
Обратная теорема
В качестве утверждения, обратного теореме Фогта, А. Островский формулирует условия, допускающие существование (выпуклой) спиральной дуги с заданными граничными углами[6]. В «ориентированном» варианте они принимают вид неравенств (2).
В[2] (theorem 3-18) сформулированы усиленные условия для случая, когда дополнительно к углам заданы значения граничных радиусов кривизны.
В[7] (теорема 3) эти условия распространены на короткие (и не только выпуклые) спирали: Для существования короткой спирали <math>\overset{\frown}{AB},</math> отличной от бидуги, с граничными углами <math>\alpha,\;\beta</math> и кривизнами <math>k_1,\; k_2</math> необходимо и достаточно выполнения условий (2) и неравенства <math>Q<0</math>, где
- <math>Q=(k_1 c+\sin\alpha)(k_2 c-\sin\beta)+\sin^2\frac{\alpha{+}\beta}{2},\quad c=\frac12|AB|\,.\qquad\qquad(3)</math>
Если спираль является бидугой, то <math>Q=0\,.</math>
Задача построения спиральной дуги с заданными граничными условиями на концах в последние десятилетия активно обсуждается в CAD-приложениях (см., например, статьи[9] и[10]).
Ссылки и примечания
См. также
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Статья
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Книга
- ↑ …то есть такие, что дуга и её хорда образуют выпуклую фигуру.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Статья
- ↑ 7,0 7,1 7,2 Шаблон:Статья [1]
- ↑ 8,0 8,1 Шаблон:Статья [2]
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
