Русская Википедия:Теорема вращения Эйлера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного угла <math>\varphi</math> и единичного вектора <math>n</math> обозначим <math>R(\varphi,n)</math> вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол <math>\varphi</math>. Тогда:

• <math>R(0,n)</math> — тождественное отображение для любого <math>n</math>
• <math>R(\varphi,n) = R(-\varphi,-n)</math>
• <math>R(\pi + \varphi,n) = R(\pi -\varphi,-n)</math>

Для любого вращения существует единственный угол <math>\varphi</math>, для которого <math>0 \le \varphi \le \pi</math>, при этом:

• <math>n</math> определяется однозначно, если <math>0 < \varphi < \pi</math>;
• <math>n</math> любое, <math>\varphi = 0</math>;
• <math>n</math> определяется однозначно с точностью до знака, если <math>\varphi = \pi</math> (то есть, вращения <math>R(\varphi,\pm n)</math> одинаковы).

Геометрия группы вращений

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства (группы SO(3)). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе SO(3).

См. также

• SO(3)
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера