Русская Википедия:Теорема о дележе пиццы
Теорема о дележе пиццы утверждает равенство площадей двух областей, получающихся при разрезании круга определённым образом.
Название теоремы отражает классическую технику разрезания пиццы. Теорема показывает, что, если два человека разрезают пиццу таким способом и по очереди берут куски, то каждый получит равное количество пиццы.
Утверждение теоремы
Пусть p будет внутренней точкой диска и пусть n будет кратно 4 и не меньше 8. Разрежем диск на n секторов с равными углами (равными <math>\tfrac{2\pi}{n}</math> радиан) по <math>\tfrac{n}{2}</math> прямым, проходящим через точку p. Пронумеруем сектора последовательно по часовой или против часовой стрелки. Тогда теорема о пицце утверждает, что:
- Сумма площадей нечётных секторов равна сумме площадей чётных секторов Шаблон:Sfn.
История
Теорема о дележе пиццы была первоначально предложена как задача-вызов Лесли Аптоном (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn. Опубликованное решение этой задачи Майклом Голдбергом (Шаблон:Lang-en) использовало прямое применение алгебраических выражений для площадей секторов.
Л. Картер (Шаблон:Lang-en) и С. Вагон (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn дали альтернативное доказательство путём Шаблон:Не переведено 5. Они показали, как нужно разрезать сектора на более мелкие кусочки, чтобы каждый кусочек в нечётном секторе имел конгруэнтный кусочек в чётном секторе и наоборот. Г. Фредериксон (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn привёл семейство доказательств рассечения для всех случаев (в которых число секторов равно Шаблон:Nowrap).
Обобщения
Требование, чтобы число секторов было кратно четырём, существенно — это показал Дон КопперсмитШаблон:Нет АИ; деление диска на четыре сектора или на число секторов, не делящееся на четыре, как правило, не даёт одинаковых площадей. Марби (Шаблон:Lang-en) и Дайерман (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn ответили на решение Картера и ВагонаШаблон:Sfn, дав более точную версию теоремы, в которой определяется, какой из наборов секторов будет иметь большую площадь, если площади не равны. В частности, если число секторов сравнимо с 2 (mod 8) и никакой из разрезов не проходит через центр диска, то подмножество кусков, содержащих центр, имеет меньшую площадь; в то время как в случае, когда число секторов сравнимо с 6 (mod 8) и никакой из разрезов не проходит через центр, набор кусков, содержащих центр, имеет большую площадь. Нечётное число секторов невозможно при прямолинейных разрезах, а разрез через центр делает оба набора секторов равными по площади вне зависимости от числа секторов.
Марби и ДайерманШаблон:Sfn заметили также, что в случае, когда пицца разделена поровну, то делится поровну и кромка (кромкой можно считать либо периметр пиццы, либо площадь между границей круга (пиццы) и меньшим кругом с тем же центром, при условии, что точка деления лежит в этом меньшем круге), поскольку диски, ограниченные обеими окружностями, делятся поровну, то же будет и с их разностью. Однако, если пицца разделена не поровну, то едок, который получает большую часть площади пиццы, получает меньший кусок кромки.
Как заметили ХишхорныШаблон:Sfn, равное деление пиццы приводит также и к равному делению её начинки, если начинка распределена в виде круга (не обязательно концентричного кругу пиццы), содержащего центральную точку p деления на сектора.
Обобщение теоремы о пицце для n-мерного шара предложено в работе Браилова Ю. А.: набор гиперплоскостей, который обладает аналогичным свойством, соответствует конечной группе отражений типа B_n[1].
Связанные результаты
ХиршхорныШаблон:Sfn показали, что пицца, разрезанная как в теореме о пицце на n секторов с равными углами, где n делится на четыре, может быть разделена поровну среди n/4 людей. Например, пицца, разделённая на 12 секторов, может быть поровну разделена среди трёх человек. Однако, чтобы распределить пиццу на пять человек, требуется разделить пиццу на 20 секторов.
Цибулька, Кинчл и др.Шаблон:Sfn и Кнауэр, Мичек, ЁкордтШаблон:Sfn изучали игру выбора свободных кусочков пиццы в порядке, гарантирующем получение большей части, — задачу, предложенную Даном Брауном и Питером Винклером. В версии задачи, которую они изучали, пицца делится радиально (без гарантии равенства углов секторов) и два обедающих поочерёдно выбирают кусочки пиццы, которые смежны уже съеденным секторам. Если два обедающих пытаются максимизировать количество съеденной пиццы, то обедающий, берущий первый кусок, может гарантировать себе 4/9 всей пиццы и существуют разрезания пиццы, при которых он не может получить больше. Справедливый делёж или задача деления пирога рассматривает похожие игры, в которых различные игроки имеют различные критерии для измерения размера их доли. Например, один из едоков может предпочесть больше пеперони, в то время как другой может отдать предпочтение сыру[2].
См. также
Другие математические вычисления, близкие к дележу пиццы, включают последовательности ленивого поставщика — последовательность целых чисел, отражающих максимальное число кусков пиццы, которое можно получить прямыми разрезаниями, а также теорему о бутерброде о разрезании трёхмерных объектов, из двумерной версии которой вытекает, что пицца даже уродливой формы может быть разделена пополам по площади и по кромке одновременно одним разрезом, а из трёхмерной версии теоремы следует, что существует плоскость, которая поровну делит основание и начинку.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья.
- Шаблон:Статья.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья Решение Майкла Гольдберга
