Русская Википедия:Теорема о кинетической энергии системы

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение:

Шаблон:Quotation

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу).

Доказательство теоремы

Рассмотрим систему материальных точек с массами <math>m_i</math>, скоростями <math>\vec v_i</math> и кинетическими энергиями <math> T_i=\frac{1}{2} m_i {v_i}^2</math>. Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени <math> dt, </math> будет выполняться

<math> dT_i= m_i \vec v_i d \vec v_i= m_i \vec v_i \frac{d \vec v_i }{dt}dt. </math>

Учитывая, что <math> \frac{d \vec v_i }{dt}</math> представляет собой ускорение i-ой точки <math> \vec a_i </math>, а <math> \vec v_i dt </math> — перемещение той же точки <math> d\vec s_i </math> за время <math> dt </math>, полученное выражение можно записать в виде:

<math> dT_i= m_i \vec a_i d \vec s_i .</math>

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как <math> F_i </math>, получаем

<math> dT_i= \vec F_i d \vec s_i ,</math>

а затем в соответствии с определением работы <math> dA_i </math>

<math> dT_i= d A_i.</math>

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

<math>dT=\sum \limits_i d A_i .</math>

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми <math>t_1</math> и <math>t_2</math>, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

<math> T_2 - T_1 = \sum \limits_i A_i ,</math>

где <math> T_1</math> и <math> T_2</math> — значения кинетической энергии системы в моменты времени <math>t_1</math> и <math>t_2</math> соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но и внутренних сил.

Закон сохранения механической энергии

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

<math> W_{2i} - W_{1i} = - A_{pi},</math>

где <math> W_{1i}</math> и <math> W_{2i}</math> — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а <math>A_{pi}</math> — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

<math> W_2 - W_1 = - \sum \limits_i A_{pi} .</math>

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны, то

<math> \sum \limits_i A_i = \sum \limits_i A_{pi} = - (W_2 - W_1).</math>

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

<math> T_2 - T_1 = - (W_2 - W_1)</math>

или, что то же самое

<math> T_2 + W_2 = T_1 + W_1.</math>

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы <math> T + W </math> выполняется

<math> T + W = const. </math>

Таким образом, можно сделать вывод:

Шаблон:Quotation

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии.

Случай системы с идеальными стационарными связями

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает:

Шаблон:Quotation

Теорема доказывается следующим образом. Заменяя в общем уравнении динамики <math>\delta \vec{r}_k</math> на <math>\vec{v}_k dt</math>, получаем:

<math>(\sum m_k \vec{w}_k ) \vec{v}_k dt = \sum \vec{F}_k \vec{v}_k dt</math>

или

<math>(d \sum m_{k} \vec{v}_k) \vec{v}_k = \sum \vec{F}_{k}^{ae} \vec{v}_k dt + \sum \vec{F}_{k}^{ai} \vec{v}_k dt</math>

Поскольку <math>d \vec{v}_k \vec{v}_k = d \frac{v_k^2}{2}</math>, получаем окончательно:

<math>dT = d'A^{ae} + d'A^{ai}</math>

Верхние значки в этих выражениях обозначают: <math>^a</math> — активная (то есть не являющаяся реакцией связей) сила, <math>^e</math> (от Шаблон:Lang-en) и <math>^i</math> (от Шаблон:Lang-en) — соответственно, внешняя и внутренняя сила.

См. также

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема об изменении количества движения системы