Русская Википедия:Теорема о перестановке ряда

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема о перестановке ряда: Шаблон:Теорема

Доказательство

Далее <math>m_k = \varphi(k)</math>, где <math>\varphi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>— перестановка натурального ряда.

Если ряд <math>\sum a_k</math> положительный, то

<math>\sum_{k=1}^n a_{m_k}</math><math>\leqslant \sum_{k=1}^N a_k,</math>

где <math>N = \max \left\{m_1, m_2, ..., m_n\right\},</math> и поэтому

<math>\sum_{k=1}^\infty a_{m_k}</math><math>\leqslant \sum_{k=1}^\infty a_k.</math>

Следовательно, перестановка ряда не увеличивает суммы, а так как ряд <math>\sum a_k</math> в свою очередь является перестановкой ряда <math>\sum a_{m_k}</math>, то обе суммы совпадают.
Если ряд <math>\sum a_k</math> знакопеременный, то на основании первой части доказательства

<math>\sum_{k=1}^\infty a_{m_k}</math><math> = \sum_{k=1}^\infty b_{m_k}</math><math> - \sum_{k=1}^\infty c_{m_k}</math><math> = \sum_{k=1}^\infty b_k - \sum_{k=1}^\infty c_k = \sum_{k=1}^\infty a_k.</math>

См. также

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах — противоположный результат для условно сходящихся рядов.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.