Русская Википедия:Теоремы Мертенса
Теоремы Мертенса — это три результата 1874 года, связанные с плотностью простых чисел, доказанные Францем МертенсомШаблон:Sfn. Название «теорема Мертенса» может относиться также к его теореме в анализе.
В теории чисел
Ниже <math>p \leqslant n</math> означает все простые числа, не превосходящие n.
Первая теорема Мертенса:
- <math> \sum_{p \leqslant n} \frac{\ln p}{p} - \ln n</math>
не превосходит 2 по абсолютной величине для любого <math>n \geqslant 2</math>. (Шаблон:OEIS)
Вторая теорема Мертенса:
- <math>\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\leqslant n}\frac1p -\ln\ln n-M\right) =0,</math>
где M — константа Майсселя — Мертенса (Шаблон:OEIS). Более точно, МертенсШаблон:Sfn доказал, что выражение в скобках не превосходит по абсолютному значению
- <math> \frac 4{\ln(n+1)} +\frac 2{n\ln n}</math>
для любого <math>n \geqslant 2</math>.
Третья теорема Мертенса:
- <math>\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p\leqslant n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma},</math>
где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (Шаблон:OEIS).
Изменение знака
В работе РобинаШаблон:Sfn о степени роста функции суммы делителей, опубликованной в 1983, Гай Робин доказал, что во второй теореме Мертенса разность
- <math>\sum_{p\leqslant n}\frac1p -\ln\ln n-M</math>
меняет знак бесконечно много раз, а в третьей теореме Мертенса разность
- <math>\ln n\prod_{p\leqslant n}\left(1-\frac1p\right)-e^{-\gamma}</math>
также меняет знак бесконечно много раз. Результаты Робина аналогичны знаменитой теореме Литлвуда, что разность <math>\pi(x) - li(x)</math> меняет знак бесконечно много раз. Никакого аналога числу Скьюза (верхней границе для первого натурального числа x, для которого <math>\pi(x) > li(x)</math>) не известны для 2-ой и 3-ей теорем Мертенса.
Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах
Относительно асимптотической формулы Мертенс указывает в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра»Шаблон:Sfn, первая является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая является прототипом третьей теоремы Мертенса — см. первые строки статьи). Он указывает, что формула содержится в третьем издании книги Лежандра «Théorie des nombres» (1830; Фактически, он упоминал её во втором издании, 1808), а также что более тщательно проработанную версию доказал Чебышёв в 1851Шаблон:Sfn. Заметим, что уже в 1737, Эйлер знал асимптотическое поведение этой суммы Шаблон:Sfn.
Мертенс дипломатично описывает своё доказательство как более точное и строгое. В действительности, ни одно из предыдущих доказательств неприемлемо по современным стандартам — вычисления Эйлера вовлекают бесконечность (гиперболический логарифм бесконечности и логарифм логарифма бесконечности!), аргументы Лежандра эвристичны, а доказательство Чебышева, хотя безупречное, опирается на гипотезу Лежандра — Гаусса, которая была доказана лишь в 1896 и после этого стала известна как теорема о распределении простых чисел.
Доказательство Мертенса не обращается к какой-либо недоказанной гипотезе (в 1874) и использует элементарный вещественный анализ. Доказательство опубликовано на 22 года раньше первого доказательства теоремы о распределении простых чисел, которая, в отличие от доказательства Мертенса, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексного переменного. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Более того, в современных обозначениях из него получается
- <math>\sum_{p\leqslant x}\frac1p=\log\log x+M+O(1/\log x)</math>
с учётом того, что можно показать эквивалентность теоремы о распределении простых чисел (в её простейшей форме без оценки ошибки) формуле[1]
- <math>\sum_{p\leqslant x}\frac1p=\log\log x+M+o(1/\log x).</math>
В 1909 Ландау с помощью более совершенной версии теоремы о распределении простых чисел доказалШаблон:Sfn, что выполняется
- <math>\sum_{p\leqslant x}\frac1p=\log\log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})</math>.
В частности, ошибка меньше, чем <math>1/(\log x)^k</math> для любого фиксированного целого k. Простое суммирование по частям, использующее наиболее сильную форму теоремы о распределении простых чисел, улучшает формулу до
- <math>\sum_{p\leqslant x}\frac1p=\log\log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5}})</math>
для некоторого <math>c > 0</math>.
В теории суммируемости
Шаблон:Main В теории суммирования теорема Мертенса утверждает, что если вещественный или комплексный бесконечный ряд
- <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
сходится к A, а другой ряд
- <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>
сходится абсолютно к B, то их Шаблон:Не переведено 5 сходится к AB.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.
- В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.
Литература для дальнейшего чтения
- Шаблон:Книга Задачи 167, 169, 170
Ссылки
- ↑ Хотя эта эквивалентность здесь не упомянута явно, её, например, можно легко вывести из материла в главе I.3 книги Г. Тененбаума Шаблон:Harv
