Русская Википедия:Теория Бранса — Дикке

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Тео́рия Бра́нса — Ди́кке (реже тео́рия Йо́рдана — Бра́нса — Ди́кке) — скалярно-тензорная теория гравитации, совпадающая в одном из пределов с общей теорией относительности. В теории Йордана — Бранса — Дикке как скалярно-тензорной метрической теории гравитационное воздействие на материю реализуется через метрический тензор пространства-времени, а материя влияет на метрику не только непосредственно, но и через генерируемое дополнительно скалярное поле <math>\phi</math>. Из-за этого в теории Йордана — Бранса — Дикке гравитационная постоянная G не обязательно постоянна, но зависит от скалярного поля <math> 1/G\sim\phi </math>, которое может изменяться в пространстве и времени.

Эта теория получила окончательную формулировку в 1961 году в статье Карла Бранса и Роберта Дикке,[1] которая опиралась существенным образом на работу Паскуаля Йордана 1959 года.[2] В «золотой век» общей теории относительности эта теория рассматривалась как достойный соперник общей теории относительности из числа альтернативных теорий гравитации.

Как теория, сводящаяся к ОТО при специальном наборе параметров, теория Йордана — Бранса — Дикке не может быть опровергнута экспериментами, не противоречащими общей теории относительности. Однако подтверждающие предсказания теории относительности эксперименты значительно ограничивают допустимый произвол параметров теории Йордана — Бранса — Дикке. В настоящее время теорию Йордана — Бранса — Дикке поддерживает меньшинство физиков.

Сравнение с общей теорией относительности

Шаблон:Нет источников в разделе Как ОТО, так и теория Бранса — Дикке представляют собой примеры классических теорий гравитационного поля, называемых метрическими теориями. В этих теориях пространство-время описывается метрическим тензором <math>g_{ab}</math>, а гравитационное поле представляется, полностью или частично, тензором кривизны Римана <math>R_{abcd}</math>, который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке гласит, что в маленькой области пространства, слишком маленькой, чтобы в ней проявлялись эффекты, связанные с кривизной пространства, все законы физики, существующие в специальной теории относительности, верны в локальной лоренцевой системе отсчёта. Отсюда следует, что, во всех метрических теориях проявляется эффект гравитационного красного смещения.

Как и в ОТО, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса. Однако способ, которым наличие этого тензора в какой-либо области пространства влияет на гравитационное поле в этой области, оказывается другим. В теории Бранса — Дикке в дополнение к метрике, которая является тензором второго ранга, существует так же скалярное поле <math>\phi</math>, которое физически проявляется как изменение в пространстве эффективной гравитационной постоянной.

Уравнения поля теории Бранса — Дикке содержат параметр <math>\omega</math>, называемый константой связи Бранса — Дикке. Это настоящая безразмерная константа, которая выбирается один раз и не изменяется. Разумеется, её следует выбирать так, чтобы она соответствовала наблюдениям. Кроме того, существующее фоновое значение эффективной гравитационной постоянной должно быть использовано в качестве граничного условия. При возрастании константы связи теория Бранса — Дикке даёт предсказания, всё более близкие к ОТО, а в пределе <math>\omega \to \infty</math> переходит в неё.

В ОТО безразмерные константы отсутствуют, и, следовательно, её легче опровергнуть экспериментом, чем теорию Бранса — Дикке. Теории, допускающие подгонку параметров, в принципе считаются менее удовлетворительными, и при выборе из двух альтернативных теорий следует выбирать ту, которая содержит меньшее количество параметров (принцип бритвы Оккама). Однако в некоторых теориях такие параметры являются необходимыми.

Теория Бранса — Дикке является менее строгой, чем ОТО и в ещё одном смысле — она допускает большее количество решений. В частности, точное вакуумное решение уравнений Эйнштейна ОТО, дополненное тривиальным скалярным полем <math>\phi = 1</math>, становится точным вакуумным решением в теории Бранса — Дикке, однако некоторые решения, которые не являются вакуумными решениями ОТО, при соответствующем выборе скалярного поля становятся вакуумными решениями теории Бранса — Дикке. Аналогично, важный класс метрик пространства-времени, называемых pp-волнами, являются нулевыми пылевыми решениями как в ОТО, так и в теории Бранса — Дикке, однако в теории Бранса — Дикке существуют дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, невозможные в ОТО.

Как и ОТО, теория Бранса — Дикке предсказывает гравитационное линзирование и прецессию перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, описывающие эти эффекты в ней, зависят от значения константы связи <math>\omega</math>. Это означает, что из наблюдений может быть получено значение нижней границы на возможные значения <math>\omega</math>. В 2003 году в ходе эксперимента Кассини-Гюйгенс было показано, что <math>\omega</math> должно превышать 40000.

Часто можно услышать, что теория Бранса — Дикке, в отличие от ОТО, удовлетворяет принципу Маха. Однако некоторые авторы утверждают, что это не так (особенно учитывая отсутствие консенсуса о том, что, собственно, представляет собой принцип Маха). Обычно утверждается, что ОТО может быть получена из теории Бранса — Дикке при <math>\omega \to \infty</math>. Однако Фараони (см. ссылки) утверждает, что такая точка зрения является упрощением. Утверждается также, что только ОТО удовлетворяет сильному принципу эквивалентности.

Уравнения поля

Уравнения поля в теории Бранса — Дикке имеют следующий вид:

<math>\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T</math>,
<math>G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2}

\left(\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi\right) +\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi),</math>

где

<math>\omega</math> — безразмерная константа связи Бранса — Дикке,
<math>g_{ab}</math> — метрический тензор,
<math>G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab}</math> — тензор Эйнштейна,
<math>R_{ab} = R^m{}_{amb}</math> — тензор Риччи, след тензора кривизны,
<math>R = R^m{}_m</math> — скаляр Риччи, след тензора Риччи,
<math>T_{ab}</math> — тензор энергии-импульса,
<math>T</math> — след <math>T_{ab}</math>,
<math>\phi</math> — скалярное поле,
<math>\Box</math> — оператор Лапласа — Бельтрами или ковариантный волновой оператор, <math>\Box \phi = \phi^{;a}{}_{;a}</math>.

Первое уравнение утверждает, что след тензора энергии-импульса является источником скалярного поля <math>\phi</math>. Так как электромагнитное поле вносит вклад только в бесследовые члены тензора энергии-импульса, то в областях пространства, содержащих только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть выражения обращается в ноль и <math>\phi</math> свободно проходит сквозь электровакуумный регион и <math>\phi</math> удовлетворяет волновому уравнению (для искривлённого пространства). Это означает, что любые изменения в <math>\phi</math> свободно распространяется через электровакуумную область; в этом смысле мы можем утверждать, что <math>\phi</math> является дальнодействующем полем

Второе уравнение описывает, каким образом тензор энергии-импульса и скалярное поле <math>\phi</math> совместно влияют на пространство-время. Слева тензор Эйнштейна может рассматриваться как средняя кривизна. Из математики следует, что в любой метрической теории тензор Римана может быть записан как сумма тензора Вейля (также называемого конформным тензором кривизны) плюс слагаемого, собираемого из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнения поля в общей теории относительности

<math>G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.</math>

Оно означает, что в ОТО кривизна Эйнштейна полностью определяется тензором энергии-импульса, а другое слагаемое, кривизна Вейля, соответствует части гравитационного поля, распространяющейся сквозь вакуум. А в теории Бранса — Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственно присутствующими энергией и импульсом, а частично дальнодействующим скалярным полем <math>\phi</math>.

Уравнения поля в вакууме обоих теорий получаются при занулении тензора энергии-импульса. Они описывают ситуацию, когда все поля, кроме гравитационного, отсутствуют.

Действие

Лагранжиан, содержащий полное описание теории Бранса — Дикке, выглядит следующим образом:

<math>S=\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g}

\left(\phi R - \omega\frac{\partial_a\phi\partial^a\phi}{\phi} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right),</math>

где

<math>g</math> — детерминант метрики,
<math>\sqrt{-g} \, d^4 x</math> — четырёхмерная форма объёма,
<math>\mathcal{L}_\mathrm{M}</math> — лагранжиан вещества.

Последнее слагаемое включает в себя вклад обычной материи и электромагнитного поля. В вакууме он обращается в ноль, и то, что остаётся, называется гравитационным слагаемым. Для того, чтобы получить вакуумные уравнения, мы должны посчитать его вариации относительно метрики <math>g_{a b}</math>; это даст нам второе из уравнений поля. При расчёте же вариаций относительно скалярного поля <math>\phi</math> мы получим первое из уравнений. Заметим что, в отличие от уравнений ОТО, слагаемое <math>\delta R_{ab}/\delta g_{cd}</math> не обнуляется, так как результат не является полным дифференциалом. Можно показать, что:

<math>\frac{\delta(\phi R)}{\delta g^{ab}} = \phi R_{ab} + g_{ab}g^{cd}\phi_{;cd} - \phi_{;ab}.</math>

Для того, чтобы доказать это воспользуемся тем, что

<math>\delta (\phi R) = R \delta \phi + \phi R_{mn} \delta g^{mn} + \phi \nabla_s (g^{mn} \delta\Gamma^s_{nm} - g^{ms}\delta\Gamma^r_{rm}).</math>

При вычислении <math>\delta\Gamma</math> в римановых нормальных координатах 6 индивидуальных слагаемых оказываются равными нулю. Ещё 6 могут быть скомбинированы, используя теорему Стокса, что даёт <math>(g_{ab}g^{cd}\phi_{;cd} - \phi_{;ab})\delta g^{ab}</math>.

Для сравнения, в общей теории относительности действие имеет вид:

<math>S = \int d^4x\sqrt{-g} \, \left(\frac{R }{16\pi G} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right).</math>

Считая вариации гравитационного члена относительно <math>g_{a b}</math>, получаем полевые уравнения Эйнштейна в вакууме.

В обоих теориях полные полевые уравнения могут быть получены путём вариаций полного лагранжиана, так что они обладают действием.

См. также

Ссылки и примечания

Шаблон:Примечания

Внешние ссылки

Шаблон:Wikibooks

Шаблон:Теории гравитации

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Статья
  2. ↑ Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теория_Бранса_—_Дикке&oldid=10920394