Русская Википедия:Теория Кирхгофа — Лява

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Plaque mince deplacement element matiere.svg

Деформация тонкой пластины с выделенным смещением срединной поверхности (красный) и нормали к срединной поверхности (синий)

Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическая модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:

• прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации;
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации;
• и толщина пластины не изменяется при деформации.

Предполагаемые перемещения/смещения

Пусть вектор положения точки недеформированной пластины равен <math>\mathbf{x}</math>. Тогда его можно разложить

<math>

 \mathbf{x} = x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3 \equiv x_i\boldsymbol{e}_i\,.

</math>

Векторы <math>\boldsymbol{e}_i</math> образуют базис декартовой системы координат с началом взятым на срединной поверхности пластины, <math>x_1</math> а также <math>x_2</math> — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, а <math>x_3</math> — координата направленная вдоль толщины.

Пусть смещение точки на пластине равно <math>\mathbf{u}(\mathbf{x})</math>. Тогда

<math>

\mathbf{u} = u_1\boldsymbol{e}_1+u_2\boldsymbol{e}_2+u_3\boldsymbol{e}_3 \equiv u_i\boldsymbol{e}_i
</math>

Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения срединной поверхности <math>u^0_\alpha</math> и смещение вне плоскости <math>w^0</math> в направлении <math>x_3</math>. Мы можем записать смещение срединной поверхности в плоскости как

<math>

\mathbf{u}^0 = u^0_1\boldsymbol{e}_1+u^0_2\boldsymbol{e}_2 \equiv u^0_\alpha\boldsymbol{e}_\alpha
</math>

Обратите внимание, что индекс <math>\alpha</math> пробегает значения 1 и 2, но не 3.

Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, чтоШаблон:Equation box 1Если <math>\varphi_\alpha</math> — углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа — Лява

<math>

 \varphi_\alpha = w^0_{,\alpha}
</math>

Обратите внимание, что выражение для <math>u_\alpha</math> представимо как разложение в ряд Тейлора первого порядка для смещения вокруг срединной поверхности.

Файл:Plaque mince deplacement rotation fibre neutre new.svg

Смещение срединной поверхности (слева) и нормали к ней (справа)

Квазистатические пластины Кирхгофа — Лява

Первоначальная теория, разработанная Лавом, применялась для бесконечно малых деформаций и вращений. Фон Карман расширил эту теорию на ситуации, в которых можно было ожидать умеренных вращений.

Соотношения деформация-смещение

Когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10° соотношения деформация-смещение (то есть используется разложение до первого порядка малости) принимают вид

<math>

\begin{align}
 \varepsilon_{\alpha\beta} & = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_\alpha}{\partial x_\beta} + 
  \frac{\partial u_\beta}{\partial x_\alpha}\right) \equiv \frac{1}{2}(u_{\alpha,\beta}+u_{\beta,\alpha})\\
 \varepsilon_{\alpha 3} & = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_\alpha}{\partial x_3} + 
  \frac{\partial u_3}{\partial x_\alpha}\right) \equiv \frac{1}{2}(u_{\alpha,3}+u_{3,\alpha})\\
 \varepsilon_{33} & = \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \equiv u_{3,3}
\end{align}

</math>

где <math>\beta=1, 2</math> как и <math>\alpha</math> .

Используя кинематические предположения, получимШаблон:Equation box 1Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластины выводятся из принципа виртуальной работы. Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке <math>q(x)</math> эти уравнения имеют вид

<math>

 \begin{align} 
  &\cfrac{\partial N_{11}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial N_{21}}{\partial x_2} = 0 \\
  &\cfrac{\partial N_{12}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial N_{22}}{\partial x_2} = 0\\
  &\cfrac{\partial^2 M_{11}}{\partial x_1^2} + 2\cfrac{\partial^2 M_{12}}{\partial x_1 \partial x_2} +
  \cfrac{\partial^2 M_{22}}{\partial x_2^2} = q
 \end{align} 

</math>

где толщина пластины <math>2h</math>. В индексной записиШаблон:Equation box 1где <math>\sigma_{\alpha\beta}</math> — механические напряжения.

Файл:Plaque moment flechissant contrainte new.svg Изгибающие моменты и нормальные напряжения

Файл:Plaque moment torsion contrainte new.svg Моменты и напряжения сдвига

Файл:Plaque moment flechissant contrainte new.svg Bending moments and normal stresses

Файл:Plaque moment torsion contrainte new.svg Torques and shear stresses

Вывод уравнения равновесия для малых вращений

Для ситуации, когда напряжения и вращения пластины малы, вариация внутренняя энергия записывается в виде <math> \begin{align} \delta U & = \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\epsilon}~dx_3~d\Omega = \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \sigma_{\alpha\beta}~\delta\varepsilon_{\alpha\beta}~dx_3~d\Omega \\ & = \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \left[\frac{1}{2}~\sigma_{\alpha\beta}~(\delta u^0_{\alpha,\beta}+\delta u^0_{\beta,\alpha}) - x_3~\sigma_{\alpha\beta}~\delta w^0_{,\alpha\beta}\right]~dx_3~d\Omega \\ & = \int_{\Omega^0} \left[\frac{1}{2}~N_{\alpha\beta}~(\delta u^0_{\alpha,\beta}+\delta u^0_{\beta,\alpha}) - M_{\alpha\beta}~\delta w^0_{,\alpha\beta}\right]~d\Omega \end{align} </math> где толщина пластины <math>2h</math> и усилия и моменты определяются как <math> N_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h \sigma_{\alpha\beta}~dx_3 ~;~~ M_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3~\sigma_{\alpha\beta}~dx_3 </math> Интегрирование по частям приводит к <math> \begin{align} \delta U & = \int_{\Omega^0} \left[-\frac{1}{2}~(N_{\alpha\beta,\beta}~\delta u^0_{\alpha}+N_{\alpha\beta,\alpha}~\delta u^0_{\beta}) + M_{\alpha\beta,\beta}~\delta w^0_{,\alpha}\right]~d\Omega \\ & + \int_{\Gamma^0} \left[\frac{1}{2}~(n_\beta~N_{\alpha\beta}~\delta u^0_\alpha+n_\alpha~N_{\alpha\beta}~\delta u^0_{\beta}) - n_\beta~M_{\alpha\beta}~\delta w^0_{,\alpha}\right]~d\Gamma \end{align} </math> Симметрия тентора напряжений подразумевает, что <math>N_{\alpha\beta} = N_{\beta\alpha}</math>. Отсюда <math> \delta U = \int_{\Omega^0} \left[-N_{\alpha\beta,\alpha}~\delta u^0_{\beta} + M_{\alpha\beta,\beta}~\delta w^0_{,\alpha}\right]~d\Omega + \int_{\Gamma^0} \left[n_\alpha~N_{\alpha\beta}~\delta u^0_{\beta} - n_\beta~M_{\alpha\beta}~\delta w^0_{,\alpha}\right]~d\Gamma </math> Проинтегрируем по частям ещё раз <math> \delta U = \int_{\Omega^0} \left[-N_{\alpha\beta,\alpha}~\delta u^0_{\beta} - M_{\alpha\beta,\beta\alpha}~\delta w^0\right]~d\Omega + \int_{\Gamma^0} \left[n_\alpha~N_{\alpha\beta}~\delta u^0_{\beta} + n_\alpha~M_{\alpha\beta,\beta}~\delta w^0 - n_\beta~M_{\alpha\beta}~\delta w^0_{,\alpha}\right]~d\Gamma </math> В случае, отсутствия внешних сил, принцип виртуальной работы подразумевает, что вариация <math>\delta U =0</math>. Уравнения равновесия для пластины задаются <math> \begin{align} N_{\alpha\beta,\alpha} & = 0 \\ M_{\alpha\beta,\alpha\beta} & = 0 \end{align} </math> Если пластина испытывает внешнюю распределенную нагрузку <math>q(x)</math>, которая направлена по нормали к срединной плоскости и напрвлена вдоль направления <math>x_3</math>, то внешняя виртуальная работа из-за нагрузки <math> \delta V_{\mathrm{ext}} = \int_{\Omega^0} q~\delta w^0~d\Omega </math> Принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия <math> \begin{align} N_{\alpha\beta,\alpha} & = 0 \\ M_{\alpha\beta,\alpha\beta} - q & = 0 \end{align} </math>

Граничные условия

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия в теории пластин, можно получить из граничных условий используемых в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид

<math>

 \begin{align}
  n_\alpha~N_{\alpha\beta} & \quad \mathrm{or} \quad u^0_\beta \\
  n_\alpha~M_{\alpha\beta,\beta} & \quad \mathrm{or} \quad w^0 \\
  n_\beta~M_{\alpha\beta} & \quad \mathrm{or} \quad w^0_{,\alpha}
 \end{align}

</math>

Обратите внимание, что <math> n_\alpha~M_{\alpha\beta,\beta}</math> — это эффективная сила сдвига.

Материальные соотношения

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой среды имеют вид

<math>

 \begin{align}
  \sigma_{\alpha\beta} & = C_{\alpha\beta\gamma\theta}~\varepsilon_{\gamma\theta} \\
  \sigma_{\alpha 3} & = C_{\alpha 3\gamma\theta}~\varepsilon_{\gamma\theta} \\
  \sigma_{33} & = C_{33\gamma\theta}~\varepsilon_{\gamma\theta} 
 \end{align}

</math>

поскольку <math>\sigma_{\alpha 3}</math>, а также <math>\sigma_{33}</math> не фигурируют в уравнениях равновесия, то неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими можно пренебречь. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной имеют вид

<math>

 \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = 
 \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\
         C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix}

</math>

Тогда

<math>

 \begin{bmatrix}N_{11} \\ N_{22} \\ N_{12} \end{bmatrix} = 
 \int_{-h}^h \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\
         C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix}
 dx_3 = \left\{
 \int_{-h}^h \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\
         C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}~dx_3 \right\}
 \begin{bmatrix} u^0_{1,1} \\ u^0_{2,2} \\ \frac{1}{2}~(u^0_{1,2}+u^0_{2,1}) \end{bmatrix}

</math>

и

<math>

 \begin{bmatrix}M_{11} \\ M_{22} \\ M_{12} \end{bmatrix} = 
 \int_{-h}^h x_3~\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\
         C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix}
 dx_3 = -\left\{
 \int_{-h}^h x_3^2~\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\
         C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}~dx_3 \right\}
 \begin{bmatrix} w^0_{,11} \\ w^0_{,22} \\ w^0_{,12} \end{bmatrix}

</math>

Жесткости — это величины

<math>

 A_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h C_{\alpha\beta}~dx_3

</math>

Изгибные жесткости (также называемая жесткостью на изгиб) — это величины

<math>

 D_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3^2~C_{\alpha\beta}~dx_3

</math>

Основные предположения Кирхгофа — Лява приводят к нулевым поперечным силам. Тогда для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа — Лява должны использоваться уравнения равновесия пластины. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к выражению

<math>

 Q_\alpha = - D\frac{\partial}{\partial x_\alpha}(\nabla^2 w^0) \,.
</math>

В качестве альтернативы эти поперечные силы можно записать как

<math>

 Q_\alpha = \mathcal{M}_{,\alpha}
</math>

где

<math>

 \mathcal{M} := -D\nabla^2 w^0 \,.
</math>

Малые деформации и умеренные вращения

Если повороты нормалей к срединной поверхности находятся в диапазоне от 10<math>^{\circ}</math> до 15<math>^\circ</math>, то зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как

<math>

\begin{align}
 \varepsilon_{\alpha\beta} & = \tfrac{1}{2}(u_{\alpha,\beta}+u_{\beta,\alpha}+u_{3,\alpha}~u_{3,\beta})\\
 \varepsilon_{\alpha 3} & = \tfrac{1}{2}(u_{\alpha,3}+u_{3,\alpha})\\
 \varepsilon_{33} & = u_{3,3}
\end{align}

</math>

Тогда кинематические допущения теории Кирхгофа — Лява приводят к классической теории пластин с деформациями фон Кармана.

<math>

\begin{align}
 \varepsilon_{\alpha\beta} & = \frac{1}{2}(u^0_{\alpha,\beta}+u^0_{\beta,\alpha}+w^0_{,\alpha}~w^0_{,\beta})
  - x_3~w^0_{,\alpha\beta} \\
 \varepsilon_{\alpha 3} & = - w^0_{,\alpha} + w^0_{,\alpha} = 0 \\
 \varepsilon_{33} & = 0
\end{align}

</math>

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.

Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, то уравнения равновесия перепишутся в виде

<math>

 \begin{align} 
  N_{\alpha\beta,\alpha} & = 0 \\
  M_{\alpha\beta,\alpha\beta} + [N_{\alpha\beta}~w^0_{,\beta}]_{,\alpha} - q & = 0 
 \end{align} 

</math>

Изотропные квазистатические пластинки Кирхгофа — Лява

В матричной форме, для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

<math>

 \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
 = \cfrac{E}{1-\nu^2}
 \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
         \nu & 1 & 0 \\
         0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \,.
</math>

где <math>\nu</math> — коэффициент Пуассона и <math>E</math> модуль Юнга . Моменты, соответствующие этим напряжениям примут вид

<math>

 \begin{bmatrix}M_{11} \\ M_{22} \\ M_{12} \end{bmatrix} = 
 -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
         \nu & 1 & 0 \\
         0 & 0 & {1-\nu} \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} w^0_{,11} \\ w^0_{,22} \\ w^0_{,12} \end{bmatrix}

</math>

или в развернутом виде

<math>

 \begin{align}
  M_{11} & = -D\left(\frac{\partial^2 w^0}{\partial x_1^2} + \nu \frac{\partial^2 w^0}{\partial x_2^2}\right) \\
  M_{22} & = -D\left(\frac{\partial^2 w^0}{\partial x_2^2} + \nu \frac{\partial^2 w^0}{\partial x_1^2}\right) \\
  M_{12} & = -D(1-\nu)\frac{\partial^2 w^0}{\partial x_1 \partial x_2}
 \end{align}
</math>

где <math> D = 2h^3E/[3(1-\nu^2)] = H^3E/[12(1-\nu^2)]</math> для пластин толщиной <math>H = 2h</math>. Используя соотношения напряжения-деформации для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношениями

<math>

 \sigma_{11} = \frac{3x_3}{2h^3}\,M_{11} = \frac{12 x_3}{H^3}\,M_{11} \quad \text{and} \quad
 \sigma_{22} = \frac{3x_3}{2h^3}\,M_{22} = \frac{12 x_3}{H^3}\,M_{22} \,.
</math>

В верхней поверхности пластины, где <math>x_3 = h = H/2</math>, напряжения

<math>

 \sigma_{11} = \frac{3}{2h^2}\,M_{11} = \frac{6}{H^2}\,M_{11} \quad \text{and} \quad
 \sigma_{22} = \frac{3}{2h^2}\,M_{22} = \frac{6}{H^2}\,M_{22} \,.
</math>

Чистый изгиб

Для изотропной и однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения сводятся к (нет внешних сил)

<math>

 \frac{\partial^4 w^0}{\partial x_1^4} + 2\frac{\partial^4 w^0}{\partial x_1^2 \partial x_2^2} + \frac{\partial^4 w^0}{\partial x_2^4} = 0 \,.
</math>

Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не зависят от <math>x_1</math> и <math>x_2</math>. В индексной записи

<math>

 w^0_{,1111} + 2~w^0_{,1212} + w^0_{,2222} = 0
</math>

и в прямой записиШаблон:Equation box 1которое известно как бигармоническое уравнение. Изгибающие моменты определяются выражением

<math>

  \begin{bmatrix}M_{11} \\ M_{22} \\ M_{12} \end{bmatrix} = 
  -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
                  \nu & 1 & 0 \\
                  0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} w^0_{,11} \\ w^0_{,22} \\ w^0_{,12} \end{bmatrix}

</math>

Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба

Для изотропных, однородных пластин под действием чистого изгиба основные уравнения <math> \begin{align} N_{\alpha\beta,\alpha} & = 0 \implies N_{11,1} + N_{21,2} = 0 ~,~~ N_{12,1} + N_{22,2} = 0 \\ M_{\alpha\beta,\alpha\beta} & = 0 \implies M_{11,11} + 2 M_{12,12} + M_{22,22} = 0 \end{align} </math> и соотношения напряжения-деформации <math> \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix} </math> Тогда <math> \begin{bmatrix}N_{11} \\ N_{22} \\ N_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{2hE}{(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^0_{1,1} \\ u^0_{2,2} \\ \frac{1}{2}~(u^0_{1,2}+u^0_{2,1}) \end{bmatrix} </math> и <math> \begin{bmatrix}M_{11} \\ M_{22} \\ M_{12} \end{bmatrix} = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w^0_{,11} \\ w^0_{,22} \\ w^0_{,12} \end{bmatrix} </math> Дифференцирование приводит к <math> \begin{align} N_{11,1} & = \cfrac{2hE}{(1-\nu^2)}\left(u^0_{1,11} + \nu~u^0_{2,21}\right) ~;~~ N_{22,2} = \cfrac{2hE}{(1-\nu^2)}\left(\nu~u^0_{1,12} + u^0_{2,22}\right) \\ N_{12,1} & = \cfrac{hE(1-\nu)}{(1-\nu^2)}\left(u^0_{1,21}+u^0_{2,11}\right) ~;~~ N_{12,2} = \cfrac{hE(1-\nu)}{(1-\nu^2)}\left(u^0_{1,22}+u^0_{2,12}\right) \end{align} </math> и <math> \begin{align} M_{11,11} & = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}\left( w^0_{,1111} + \nu~w^0_{,2211}\right) \\ M_{22,22} & = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}\left( \nu~w^0_{,1122} + w^0_{,2222}\right) \\ M_{12,12} & = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}(1-\nu)~w^0_{,1212} \end{align} </math> Подставим результат в основные уравнение, получим <math> \begin{align} & u^0_{1,11} + \nu~u^0_{2,21} + \tfrac{1}{2}(1-\nu)\left(u^0_{1,22}+u^0_{2,12}\right) = 0 \\ & \nu~u^0_{1,12} + u^0_{2,22} + \tfrac{1}{2}(1-\nu)\left(u^0_{1,21}+u^0_{2,11}\right) = 0 \\ & w^0_{,1111} + \nu~w^0_{,2211} + 2(1-\nu)~w^0_{,1212} + \nu~w^0_{,1122} + w^0_{,2222} = 0 \end{align} </math> Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то <math>u^0_{1,12}=u^0_{1,21}</math>, <math>u^0_{2,21}=u^0_{2,12}</math>, и<math>w^0_{,2211} = w^0_{,1212} = w^0_{,1122}</math>. Отсюда <math> \begin{align} & u^0_{1,11} + \tfrac{1}{2}(1-\nu)~u^0_{1,22} + \tfrac{1}{2}(1+\nu)~u^0_{2,12} = 0 \\ & u^0_{2,22} + \tfrac{1}{2}(1-\nu)~u^0_{2,11} + \tfrac{1}{2}(1+\nu)~u^0_{1,12} = 0 \\ & w^0_{,1111} + 2~w^0_{,1212} + w^0_{,2222} = 0 \end{align} </math> В прямой тензорной нотации, основное уравнение для пластины <math> \nabla^2\nabla^2 w = 0 </math> где мы предположили, что перемещения <math>u^0_1,u^0_2</math> постоянны.

Изгиб под действием поперечной нагрузки

Если распределенная поперечная нагрузка <math>-q(x)</math> применяется к пластине, то определяющее уравнение <math>M_{\alpha\beta,\alpha\beta} = -q</math> . Следуя процедуре, из предыдущего раздела, получаемШаблон:Equation box 1В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение примет вид

<math>

w^0_{,1111} + 2\,w^0_{,1212} + w^0_{,2222} = -\cfrac{q}{D} 
</math>

а в цилиндрических координатах принимает вид (для круглой пластинки с аксиально-симметричной нагрузкой)

<math>

 \frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left[r \cfrac{d }{d r}\left\{\frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left(r \cfrac{d w}{d r}\right)\right\}\right] = - \frac{q}{D}\,.

</math>

Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье об изгибе пластин.

Вывод уравнений равновесия для поперечной нагрузки

Для поперечно нагруженной пластины без аксиальных деформаций, основное уравнение примет вид <math> M_{\alpha\beta,\alpha\beta} = q \implies M_{11,11} + 2 M_{12,12} + M_{22,22} = q </math> где <math>q</math> распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Замена выражений на производные <math>M_{\alpha\beta}</math> в основном уравнении приводит к <math> -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}\left[w^0_{,1111} + 2\,w^0_{,1212} + w^0_{,2222}\right] = q \,. </math> Используя для изгибной жёсткости выражение <math> D := \cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)} </math> запишем основное уравнение в виде Шаблон:Equation box 1 В цилиндрических координатах <math>(r, \theta, z)</math>, <math> \nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial w}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 w}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} \,. </math> Для аксиально-симметричной нагрузки и круглых пластин, <math> w = w(r)</math>, тогда <math> \nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left(r \cfrac{d w}{d r}\right) \,. </math>

Цилиндрический изгиб

При определённых условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип изгиба называется цилиндрическим изгибом и представляет собой особую ситуацию, когда <math>u_1 = u_1(x_1), u_2 = 0, w = w(x_1)</math>. В таком случае

<math>

 \begin{bmatrix}N_{11} \\ N_{22} \\ N_{12} \end{bmatrix} = 
 \cfrac{2hE}{(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
         \nu & 1 & 0 \\
         0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} u^0_{1,1} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

</math>

а также

<math>

 \begin{bmatrix}M_{11} \\ M_{22} \\ M_{12} \end{bmatrix} = 
 -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
         \nu & 1 & 0 \\
         0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} w^0_{,11} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

</math>

и определяющие уравнения становятся к

<math>

 \begin{align}
 N_{11} & = A~\cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d} x_1} \quad \implies \quad
  \cfrac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} x_1^2} = 0\\
 M_{11} & = -D~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x_1^2} \quad \implies \quad \cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x_1^4} = \cfrac{q}{D} \\
 \end{align}
</math>

Динамика пластин Кирхгофа — Лява

Динамическая теория тонких пластин ставит задачу о распространении упругих волн в пластинах, а также изучает стоячие волны и режимы колебаний.

Основные уравнения

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа — Лява:Шаблон:Equation box 1где для пластины с плотностью <math>\rho = \rho(x)</math> ,

<math>

 J_1 := \int_{-h}^h \rho~dx_3 = 2~\rho~h ~;~~ 
 J_3 := \int_{-h}^h x_3^2~\rho~dx_3 = \frac{2}{3}~\rho~h^3

</math>

а также

<math>

 \dot{u}_i = \frac{\partial u_i}{\partial t} ~;~~ \ddot{u}_i = \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} ~;~~
 u_{i,\alpha} = \frac{\partial u_i}{\partial x_\alpha} ~;~~ u_{i,\alpha\beta} = \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} 

</math>

Вывод уравнений, регулирующих динамику пластин Кирхгофа — Лява

Полная кинетическая энергия пластины <math> K = \int_0^T \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \cfrac{\rho}{2}\left[ \left(\frac{\partial u_1}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_2}{\partial t}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_3}{\partial t}\right)^2\right]~\mathrm{d}x_3~\mathrm{d}A~\mathrm{d}t </math> Таким образом, вариация кинетической энергии <math> \delta K = \int_0^T \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \cfrac{\rho}{2}\left[ 2\left(\frac{\partial u_1}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \delta u_1}{\partial t}\right) + 2\left(\frac{\partial u_2}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \delta u_2}{\partial t}\right) + 2\left(\frac{\partial u_3}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \delta u_3}{\partial t}\right) \right] ~\mathrm{d}x_3~\mathrm{d}A~\mathrm{d}t </math> Тут мы используем следующую нотацию <math> \dot{u}_i = \frac{\partial u_i}{\partial t} ~;~~ \ddot{u}_i = \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} ~;~~ u_{i,\alpha} = \frac{\partial u_i}{\partial x_\alpha} ~;~~ u_{i,\alpha\beta} = \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} </math> Тогда <math> \delta K = \int_0^T \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \rho \left( \dot{u}_\alpha~\delta\dot{u}_\alpha + \dot{u}_3~\delta\dot{u}_3\right) ~\mathrm{d}x_3~\mathrm{d}A~\mathrm{d}t </math> Для пластин Кирхгофа — Лява <math> u_\alpha = u^0_\alpha - x_3~w^0_{,\alpha} ~;~~ u_3 = w^0 </math> Отсюда <math> \begin{align} \delta K & = \int_0^T \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \rho \left[ \left(\dot{u}^0_\alpha - x_3~\dot{w}^0_{,\alpha}\right)~ \left(\delta\dot{u}^0_\alpha - x_3~\delta\dot{w}^0_{,\alpha}\right) + \dot{w}^0~\delta\dot{w}^0\right] ~\mathrm{d}x_3~\mathrm{d}A~\mathrm{d}t \\ & = \int_0^T \int_{\Omega^0} \int_{-h}^h \rho \left(\dot{u}^0_\alpha~\delta\dot{u}^0_\alpha - x_3~\dot{w}^0_{,\alpha}~ \delta\dot{u}^0_\alpha - x_3~\dot{u}^0_\alpha~\delta\dot{w}^0_{,\alpha} + x_3^2~\dot{w}^0_{,\alpha}~\delta\dot{w}^0_{,\alpha} + \dot{w}^0~\delta\dot{w}^0\right) ~\mathrm{d}x_3~\mathrm{d}A~\mathrm{d}t \end{align} </math> Определим для постоянной по толщине <math>\rho</math> <math> J_1 := \int_{-h}^h \rho~dx_3 = 2~\rho~h ~;~~ J_2 := \int_{-h}^h x_3~\rho~dx_3 = 0 ~;~~ J_3 := \int_{-h}^h x_3^2~\rho~dx_3 = \frac{2}{3}~\rho~h^3 </math> Тогда <math> \delta K = \int_0^T \int_{\Omega^0} \left[ J_1\left(\dot{u}^0_\alpha~\delta\dot{u}^0_\alpha + \dot{w}^0~\delta\dot{w}^0\right) + J_3~\dot{w}^0_{,\alpha}~\delta\dot{w}^0_{,\alpha}\right] ~\mathrm{d}A~\mathrm{d}t </math> Интегрирование по частям даёт <math> \delta K = \int_{\Omega^0} \left[\int_0^T \left\{ - J_1\left(\ddot{u}^0_{\alpha}~\delta u^0_\alpha + \ddot{w}^0~\delta w^0\right) - J_3~\ddot{w}^0_{,\alpha}~\delta w^0_{,\alpha}\right\}~\mathrm{d}t + \left|J_1\left(\dot{u}^0_{\alpha}~\delta u^0_\alpha + \dot{w}^0~\delta w^0\right) + J_3~\dot{w}^0_{,\alpha}~\delta w^0_{,\alpha}\right|_0^T \right]~\mathrm{d}A </math> Вариации <math>\delta u^0_\alpha</math> и <math>\delta w^0</math> равны нулю при <math>t = 0</math> и <math>t = T</math>. Таким образом, после перемены последовательности интегрирования <math> \delta K = -\int_0^T \left\{ \int_{\Omega^0} \left[ J_1\left(\ddot{u}^0_{\alpha}~\delta u^0_\alpha + \ddot{w}^0~\delta w^0\right) + J_3~\ddot{w}^0_{,\alpha}~\delta w^0_{,\alpha}\right] ~\mathrm{d}A\right\}~\mathrm{d}t + \left| \int_{\Omega^0} J_3~\dot{w}^0_{,\alpha}~\delta w^0_{,\alpha}\mathrm{d}A\right|_0^T </math> Интеграция по частям в срединной поверхности даёт <math> \begin{align} \delta K & = -\int_0^T \left\{ \int_{\Omega^0} \left[ J_1\left(\ddot{u}^0_{\alpha}~\delta u^0_\alpha + \ddot{w}^0~\delta w^0\right) - J_3~\ddot{w}^0_{,\alpha\alpha}~\delta w^0\right] ~\mathrm{d}A + \int_{\Gamma^0} J_3~n_\alpha~\ddot{w}^0_{,\alpha}~\delta w^0~\mathrm{d}s \right\}~\mathrm{d}t \\ & \qquad - \left| \int_{\Omega^0} J_3~\dot{w}^0_{,\alpha\alpha}~\delta w^0~\mathrm{d}A - \int_{\Gamma^0} J_3~\dot{w}^0_{,\alpha}~\delta w^0~\mathrm{d}s \right|_0^T \end{align} </math> Опять же, поскольку вариации остаются нулевыми в начале и в конце промежутка времени, то <math> \delta K = -\int_0^T \left\{ \int_{\Omega^0} \left[ J_1\left(\ddot{u}^0_{\alpha}~\delta u^0_\alpha + \ddot{w}^0~\delta w^0\right) - J_3~\ddot{w}^0_{,\alpha\alpha}~\delta w^0\right] ~\mathrm{d}A + \int_{\Gamma^0} J_3~n_\alpha~\ddot{w}^0_{,\alpha}~\delta w^0~\mathrm{d}s \right\}~\mathrm{d}t </math> Для динамического случая вариация внутренней энергии <math> \delta U = - \int_0^T \left\{\int_{\Omega^0} \left[N_{\alpha\beta,\alpha}~\delta u^0_{\beta} + M_{\alpha\beta,\beta\alpha}~\delta w^0\right]~\mathrm{d}A - \int_{\Gamma^0} \left[n_\alpha~N_{\alpha\beta}~\delta u^0_{\beta} + n_\alpha~M_{\alpha\beta,\beta}~\delta w^0 - n_\beta~M_{\alpha\beta}~\delta w^0_{,\alpha}\right]~\mathrm{d}s \right\}\mathrm{d}t </math> Интеграция по частям и предположение о нулевой вариации на границе срединной поверхности дает <math> \delta U = - \int_0^T \left\{\int_{\Omega^0} \left[N_{\alpha\beta,\alpha}~\delta u^0_{\beta} + M_{\alpha\beta,\beta\alpha}~\delta w^0\right]~\mathrm{d}A - \int_{\Gamma^0} \left[n_\alpha~N_{\alpha\beta}~\delta u^0_{\beta} + n_\alpha~M_{\alpha\beta,\beta}~\delta w^0 + n_\beta~M_{\alpha\beta,\alpha}~\delta w^0\right]~\mathrm{d}s \right\}\mathrm{d}t </math> Если имеется внешняя распределенная сила <math>q(x,t)</math> действуя по нормали к поверхности пластины, то виртуальная внешняя работа <math> \delta V_{\mathrm{ext}} = \int_0^T \left[\int_{\Omega^0} q(x,t)~\delta w^0~\mathrm{d}A\right]\mathrm{d}t </math> Из принципа виртуальной работы <math>\delta U + \delta V_{\mathrm{ext}} = \delta K </math>. Таким образом, основные уравнения баланса для пластины <math> \begin{align} N_{\alpha\beta,\beta} & = J_1~\ddot{u}^0_\alpha \\ M_{\alpha\beta,\alpha\beta} - q(x,t) & = J_1~\ddot{w}^0 - J_3~\ddot{w}^0_{,\alpha\alpha} \end{align} </math>

Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебаниях пластин. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды для круглой пластины защемлённой по контуру.

• режим k = 0, p = 1

  режим k = 0, p = 1

• режим k = 0, p = 2

  режим k = 0, p = 2

• режим k = 1, p = 2

  режим k = 1, p = 2

Изотропные пластины

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в срединной плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):

<math>

 D\,\left(\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{\partial^4 w}{\partial y^4}\right) = -q(x, y, t) - 2\rho h\, \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} \,.
</math>

где <math>D</math> — изгибная жесткость. Для однородной плиты толщиной <math>2h</math> ,

<math>

 D := \cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)} \,.
</math>

В прямой записи

<math>

 D\,\nabla^2\nabla^2 w = -q(x, y, t) - 2\rho h \, \ddot{w} \,.
</math>

Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид

<math>

  D\,\nabla^2\nabla^2 w = -2\rho h \, \ddot{w} \,.
</math>

Вывод динамических уравнений для изотропных пластин Кирхгофа — Лява

Для изотропной и однородной пластины, соотношения напряжения-деформации <math> \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \,. </math> где <math>\varepsilon_{\alpha\beta}</math> задаются в плоскости пластины. Соотногения деформации-перемещения в теории Кирхгофа — Лява <math> \varepsilon_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(u_{\alpha,\beta}+u_{\beta,\alpha}) - x_3\,w_{,\alpha\beta} \,. </math> Таким образом, в результирующие моменты, соответствующие этим перемещениям <math> \begin{bmatrix}M_{11} \\ M_{22} \\ M_{12} \end{bmatrix} = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_{,11} \\ w_{,22} \\ w_{,12} \end{bmatrix} </math> Основные уравнение для изотропной и однородной пластины однородной толщины <math>2h</math> при отсутствии перемещений в срединной плоскости <math> M_{11,11} + 2 M_{12,12} + M_{22,22} - q(x,t) = 2\rho h\ddot{w} - \frac{2}{3}\rho h^3\left(\ddot{w}_{,11}+\ddot{w}_{,22} + \ddot{w}_{,33}\right) \,. </math> Дифференциация выражений для моментов даёт <math> \begin{align} M_{11,11} & = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}\left( w_{,1111} + \nu~w_{,2211}\right) \\ M_{22,22} & = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}\left( \nu~w_{,1122} + w_{,2222}\right) \\ M_{12,12} & = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}(1-\nu)~w_{,1212} \end{align} </math> Подставление в основные уравнения приходим к <math> \begin{align} -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}& \left(w_{,1111} + \nu~w_{,2211} + 2(1-\nu)~w_{,1212} + \nu~w_{,1122} + w_{,2222}\right) = \\ & q(x,t) + 2\rho h\ddot{w} - \frac{2}{3}\rho h^3\left(\ddot{w}_{,11}+\ddot{w}_{,22} + \ddot{w}_{,33}\right) \,. \end{align} </math> Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то <math>w_{,2211} = w_{,1212} = w_{,1122}</math>. Отсюда <math> \begin{align} -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}& \left(w_{,1111} + 2w_{,1212} + w_{,2222}\right) = \\ & q(x,t) + 2\rho h\ddot{w} - \frac{2}{3}\rho h^3\left(\ddot{w}_{,11}+\ddot{w}_{,22} + \ddot{w}_{,33}\right) \,. \end{align} </math> Если жёсткость пластины определим как <math> D := \cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)} </math> то <math> D\left(w_{,1111} + 2w_{,1212} + w_{,2222}\right) = -q(x,t) - 2\rho h\ddot{w} + \frac{2}{3}\rho h^3\left(\ddot{w}_{,11}+\ddot{w}_{,22} + \ddot{w}_{,33}\right) \,. </math> Для небольших деформаций, мы часто пренебрегаем пространственными производными поперечного ускорения пластины, тогда <math> D\left(w_{,1111} + 2w_{,1212} + w_{,2222}\right) = -q(x,t) - 2\rho h\ddot{w} \,. </math> Тошда в прямой тенсорной нотации, основное уравнение для пластин <math> D\nabla^2\nabla^2 w = -q(x,y,t) - 2\rho h\ddot{w} \,. </math>