Русская Википедия:Теория Купмана — фон Неймана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Классическая механика Теорией Ку́пмана — фон Не́ймана (KvN-теорией) в математической физике называется оригинальная переформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Купманом. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шрёдингера и т. д.

Идеологически KvN-теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путём преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определённую в классическом фазовом пространстве. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в 1931—1932 годах.

История создания

Истоки KvN-теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики. К началу 1931 года серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л. Больцманом ещё в 1887 году. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов, взяв за исходный пункт микроскопическую картину движения большого ансамбля молекул, происходящего в соответствии с законам ньютоновской механики.

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршалла Стоуна по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов. Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана, который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путём постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна.

Такое операторное представление классической механики было в то время совершенно новой идеей; оно побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Опираясь на результаты Купмана и А. Вейля, он завершил создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году опубликовал серию работ, которые стали основополагающими для современной эргодической теории (в данных работах была, в частности, доказана знаменитая Шаблон:Нп5). Любопытно, что в этом же году фон Нейман опубликовал также книгу «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», содержавшую первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

Основные положения и свойства

Отправной точкой KvN-теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций <math>\Psi(t, p, q)</math> координат <math>q</math> и импульсов <math>p</math>, оснащённого следующим скалярным произведением:

Шаблон:EF

где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака). Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности <math>\rho(p, q, t)</math> нахождения частицы в заданной точке <math>(p, q)</math> фазового пространства в момент времени <math>t</math>:

Шаблон:EF

Из данного постулата и определения (Шаблон:Eqref) помимо условия нормировки <math>\langle\Psi(t)|\Psi(t)\rangle = 1</math> следует, что среднее значение <math>\langle X\rangle</math> произвольной физической величины <math>X</math>, заданной действительной функцией <math>X(p, q)</math> может быть найдено по формуле

Шаблон:EF

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над <math>X</math> будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции <math>\Psi(t, p, q)</math> название классической волновой функции.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля <math>i \frac{\partial}{\partial t}\rho = \hat L \rho</math> для классического распределения плотности вероятности <math>\rho(t, p, q)</math> в фазовом пространстве:

Шаблон:EF

где

Шаблон:EF

есть классический оператор Лиувилля. Из данного постулата с учетом свойств (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref) классической волновой функции можно получить для неё наиболее общее выражение:

Шаблон:EF

в котором фаза <math>\phi(t, p, q)</math> является произвольной действительной функцией своих аргументов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения (Шаблон:Eqref) имеет следующий вид:

Шаблон:EF

где <math>\hat x, \hat p, \hat\lambda_x, \hat\lambda_p</math> являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

Шаблон:EF

в которых скобками <math>[\cdot, \cdot]</math> обозначен коммутатор операторов. Соотношения (Шаблон:Eqref) представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики. Легко проверить, что выражение (Шаблон:Eqref) получается из (Шаблон:Eqref) при выборе <math>\hat x = x</math>, <math>\hat p = p</math>, <math>\hat\lambda_x = -i \frac{\partial}{\partial x}</math>, <math>\hat\lambda_p = -i \frac{\partial}{\partial p}</math>. Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине <math>X(p, q)</math> ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой <math>\hat X = X(\hat p, \hat q)</math>, получаемый путём подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы <math>\hat x</math> и <math>\hat p</math> коммутируют. По этой же причине KvN-операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения (Шаблон:Eqref) также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением (Шаблон:Eqref) описывается некоторым унитарным преобразованием <math>U_t</math> классической волновой функции: <math>|\Psi(t)\rangle = U_t |\Psi(0)\rangle</math>, причём отображение <math>t \mapsto U_t</math> представляет собой однопараметрическую группу. В этом смысле уравнение (Шаблон:Eqref) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN-теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы. В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы теории возмущений и функционального интегрирования, фейнмановскую диаграммную технику.

Соотнесение с квантовой механикой

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN-теория имеет с ней существенные различия. Прямая проверка показывает, что эволюция классической волновой функции (Шаблон:Eqref) по закону (Шаблон:Eqref) распадается на два независимых уравнения для фазы <math>\phi(t, p, q)</math> и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель <math>\phi(t, p, q)</math> в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несёт важную информацию о квантовой когерентности, которая и является источником всех специфически квантовых эффектов. По той же причине неселективное измерение не приводит к изменению классической волновой функции.

Файл:KvN evolution for Morse potential.ogv Классическая эволюция KvN-функции <math>\Psi(t, p, q)</math>	Файл:Wigner function propagation for morse potential.ogv Квантовая эволюция функции Вигнера <math>P(t, p, q)</math>
Шаблон:Hidden

Еще одним фундаментальным отличием KvN-механики является обособленное место генератора движения (Шаблон:Eqref) — классического лиувиллиана. Оператор (Шаблон:Eqref) — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин (которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений (Шаблон:Eqref)). По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов <math>\lambda_x</math> and <math>\lambda_p</math>. Квантовомеханический случай значительно проще. Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в уравнении Шрёдингера, одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне. Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику?

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана классическим пределом какого-либо квантового представления. Ответ, причём достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является чистое квантовое состояние. Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме (Шаблон:Eqref) получается как классический предел <math>\hbar \to 0</math> в соответствующем генераторе движения для функции Вигнера <math>P(p, q)</math>. Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории. Укрощения борьбы противоположностей можно добиться, введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме (Шаблон:Eqref) и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних

Шаблон:EF

правило (Шаблон:Eqref) (с подстановкой функции <math>P(p, q)</math> вместо <math>\Psi(p, q)</math>). Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний (т. е. результаты вычисления по формулам (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref) совпадают) и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе <math>\hbar \to 0</math>. Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности «функции квазивероятностного распределения Вигнера», поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией <math>P(p, q)</math>, а вычисляется по формуле (Шаблон:Eqref) и всегда положительно. Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай смешанных квантовых состояний.

Значение

За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому её упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике. По причине сравнительно низкой известности теории её историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными.

В современных работах KvN-теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений. Однако основная её ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации. Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами.

Литература

• Mauro, D. (2002). «Topics in Koopman — von Neumann Theory». arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph]. (существует выборочный перевод на русский язык М. Х. Шульмана: [1]).
• John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
• H.R. Jauslin, D. Sugny, Dynamics of mixed classical-quantum systems, geometric quantization and coherent statesШаблон:Недоступная ссылка, Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol., August 13, 2009
• The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer. — Amata Graphics, 2006. — Шаблон:ISBN