Русская Википедия:Технологическое множество
Шаблон:Нет ссылок Технологическое множество — понятие, используемое в микроэкономике, формализующее множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции.
Определение
Пусть в экономике имеется <math>N</math> благ. В процессе производства из них <math>n</math> благ расходуются. Обозначим вектор этих благ (затрат) <math>x</math> (размерность вектора <math>n</math>). Другие <math>m=N-n</math> благ выпускаются в процессе производства (размерность вектора — <math>m</math>). Обозначим вектор этих благ <math>y</math>. Тогда вектор <math>z=(-x,y)</math> (размерность — <math>N</math>) называется вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков и составляют технологическое множество. Фактически это некоторое подмножество пространства <math>R^N</math>.
Свойства
- Непустота: технологическое множество не пусто. Непустота означает принципиальную возможность производства.
- Допустимость бездеятельности: нулевой вектор принадлежит технологическому множеству. Это формальное свойство означает, что нулевой выпуск при нулевых затратах является допустимым.
- Замкнутость: технологическое множество содержит свою границу и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистых выпусков тоже принадлежит технологическому множеству.
- Свобода расходования: если данный вектор <math>z</math> принадлежит технологическому множеству, то ему принадлежит и любой вектор <math>z'\leqslant z</math>. Это означает, что формально тот же объем выпуска можно производить и большими затратами.
- Отсутствие «рога изобилия»: из неотрицательных векторов чистого выпуска технологическому множеству принадлежит только нулевой вектор. Это означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы ненулевые затраты.
- Необратимость: для любого допустимого вектора <math>z</math>, противоположный вектор <math>-z</math> не принадлежит технологическому множеству. То есть из выпущенной продукции невозможно произвести ресурсы в том же количестве, в котором они используются для производства этой продукции.
- Аддитивность : сумма двух допустимых векторов также является допустимым вектором. То есть допускается комбинирование технологий.
- Свойства, связанные с отдачей от масштаба производства:
- Невозрастающая отдача от масштаба: для любого <math>\lambda \in (0;1)</math> если z принадлежит технологическому множеству, то <math>\lambda z</math> также принадлежит технологическому множеству.
- Неубывающая отдача от масштаба: для любого <math>\lambda >1</math> если z принадлежит технологическому множеству, то <math>\lambda z</math> также принадлежит технологическому множеству.
- Постоянная отдача от масштаба: одновременное выполнение двух предыдущих свойств, то есть для любого положительного <math>\lambda</math> если <math>z</math> принадлежит технологическому множеству, то <math>\lambda z</math> также принадлежит технологическому множеству. Свойство постоянной отдачи означает, что технологическое множество является конусом.
8. Выпуклость: для любых двух допустимых векторов <math>z_1, z_2</math> допустимыми являются также любые векторы <math>\alpha z_1 +(1-\alpha)z_2</math>, где <math>0 < \alpha \leqslant 1</math>. Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии. Оно, в частности, выполнено, если технологическое множество обладает свойством аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба. Более того, в этому случае технологическое множество является выпуклым конусом.
Эффективная граница технологического множества
Допустимую технологию <math>z</math> называют эффективной, если не существует другой, отличной от неё, допустимой технологии <math>z'\geqslant z</math>. Множество эффективных технологий образуют эффективную границу технологического множества.
Если выполнено условие свободы расходования и замкнутости технологического множества, то невозможно бесконечно увеличивать производство одного блага без уменьшения выпуска других. В этом случае для любой допустимой технологии <math>z</math> есть эффективная технология <math>z' \geqslant z</math>. В таком случае, вместо всего технологического множества можно использовать только его эффективную границу. Обычно эффективную границу можно задать некоторой производственной функцией.
Производственная функция
Рассмотрим однопродуктовые технологии <math>(-x,y)</math>, где <math>y</math> — вектор размерности <math>m=1</math>, а <math>x</math> — вектор затрат размерности <math>n</math>. Рассмотрим множество <math>X</math>, включающее в себя все возможные векторы затрат <math>x</math>, таких, что для каждого <math>x</math> существует <math>y</math>, такой что векторы чистых выпусков <math>(-x,y)</math> принадлежат к технологическому множеству.
Числовая функция <math>f(x)</math> на <math>X</math> называется производственной функцией, если для каждого данного вектора затрат <math>x</math> значение <math>f(x)</math> определяет максимальное значение допустимого выпуска <math>y</math> (такого, что вектор чистого выпуска (-x, y) принадлежит технологическому множеству).
Любая точка эффективной границы технологического множества представима в виде <math>(-x,f(x))</math>, а обратное верно в том случае, если <math>f(x)</math> является возрастающей функцией (в таком случае <math>y=f(x)</math> — уравнение эффективной границы). Если технологическое множество обладает свойством свободы расходования и допускает описание производственной функцией, то технологическое множество определяется на основе неравенства <math>y \leqslant f(x)</math>.
Для того, чтобы технологическое множество можно было бы задавать с помощью производственной функции достаточно, чтобы для любого <math>x</math> множество <math>F(x)</math> допустимых выпусков при данных затратах <math>x</math>, являлось ограниченным и замкнутым. В частности, это условие выполнено, если для технологического множества выполнены свойства замкнутости, невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.
Если технологическое множество выпукло, то производственная функция вогнута и непрерывна на внутренности множества <math>X</math>. Если выполнено условие свободы расходования, то <math>f(x)</math> является неубывающей функцией (в этом случае также из вогнутости функции следует выпуклость технологического множества). Наконец, если выполнены одновременно и условие отсутствия рога изобилия и допустимость бездеятельности, то <math>f(0)=0</math>.
Если производственная функция является дифференцируемой, то можно определить локальную эластичность масштаба следующими эквивалентными способами:
<math>e(x)=\frac {d f(\lambda x)}{d \lambda} \cdot \frac {\lambda}{f(x)}|_{\lambda=1}=\frac {f'(x)x}{f(x)}</math>
где <math>f'(x)</math> — вектор-градиент производственной функции.
Определив таким образом эластичность масштаба можно показать, что если технологическое множество обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то <math>e(x)=1</math>, если убывающей отдачи от масштаба, то <math>e(x) \leqslant 1</math>, если возрастающей отдачи, то <math>e(x)\geqslant 1</math>.
Задача производителя
Если задан вектор цен <math>p</math>, то произведение <math>pz</math> представляет собой прибыль производителя. Задача производителя сводится к поиску такого вектора <math>z</math>, чтобы при заданном векторе цен прибыль была максимальна. Множество цен благ, при которых эта задача имеет решение, обозначим <math>P</math>. Можно показать, что при непустом, замкнутом технологическом множестве с невозрастающей отдачей от масштаба задача производителя имеет решение на множестве цен <math>P</math>, дающих отрицательную прибыль на так называемых рецессивных направлениях (это векторы <math>z</math> технологического множества, для которых при любом неотрицательном <math>\lambda</math> векторы <math>\lambda z</math> также принадлежат технологическому множеству). В частности, если множество рецессивных направлений совпадает с <math>R^N_-</math>, то решение существует при любых положительных ценах.
Функция прибыли <math>\pi(p)</math> определяется как <math>pz(p)</math>, где <math>z(p)</math> — решение задачи производителя при данных ценах (это так называемая функция предложения, возможно многозначная). Функция прибыли является положительно однородной (первой степени), то есть <math>\pi(\lambda p)=\lambda \pi(p)</math> и непрерывной на внутренности <math>P</math>. Если технологическое множество строго выпукло, то функция прибыли является к тому же непрерывно дифференцируемой. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли выпукла на любом выпуклом подмножестве допустимых цен <math>P</math>.
Функция (отображение) предложения <math>z(p)</math> является положительно однородной нулевой степени. Если технологическое множество строго выпукло, то функция предложения является однозначной на P и непрерывной на внутренности <math>P</math>. Если функция предложения дважды дифференцируема, то матрица Якоби этой функции симметрична и неотрицательно определена.
Если технологическое множество представлено посредством производственной функции, то прибыль определяется как <math>pf(x)-wx</math>, где <math>w</math> — вектор цен на факторы производства, <math>p</math> в данном случае цена выпускаемой продукции. Тогда для любого внутреннего решения (то есть принадлежащего внутренности <math>X</math>) задачи производителя справедливо равенство предельного продукта каждого фактора его относительной цене, то есть в векторной форме <math>f'(x)=w/p</math>.
Если задана функция прибыли <math>\pi(p)</math>, являющаяся дважды непрерывно дифференцируемой, выпуклой и положительно однородной (первой степени) функцией, то можно восстановить технологическое множество, как множество, содержащее при любом неотрицательном векторе цен <math>p</math> векторы чистых выпусков <math>z</math>, удовлетворяющих неравенству <math>pz\leqslant \pi(p)</math>. Можно также показать, что если функция предложения является положительно однородной нулевой степени и матрица её первых производных непрерывна, симметрична и неотрицательно определена, то соответствующая функция прибыли удовлетворяет вышеуказанным требованиям (верно также и обратное утверждение).
См. также
