Русская Википедия:Томагавк (геометрия)
Томагавк — это инструмент в геометрии для трисекции угла, задачи разбиения угла на три равные части. Фигура состоит из полукруга и двух отрезков и внешне напоминает томагавк, топор индейцевШаблон:SfnШаблон:Sfn. Тот же инструмент иногда называли ножом сапожникаШаблон:Sfn, однако это название уже широко используется для другой фигуры, арбелоса (треугольник со сторонами в виде полуокружностей)Шаблон:Sfn.
Описание
Основная фигура томагавка состоит из полуокружности («лезвия» томагавка), с продолжением диаметра отрезком, равным радиусу полуокружности («остриё» томагавка), и ещё одним отрезком произвольной длины («ручка» томагавка), перпендикулярном диаметру. Чтобы превратить фигуру в физический инструмент, ручка и остриё делается с ненулевой толщиной, но отрезки должны оставаться границами фигуры. В отличие от трисекции с помощью Шаблон:Не переведено 5, противоположная сторона ручки не обязана быть отрезком, параллельным рабочей сторонеШаблон:Sfn.
В некоторых источниках указывается полный круг, а не полукругШаблон:Sfn, или сторона томагавка вдоль диаметра также расширяетсяШаблон:Sfn, но эти модификации не оказывают влияние на работу с инструментом.
Трисекция
При использования томагавка для трисекции угла, томагавк размещается так, чтобы ручка лежала на вершине угла, лезвие (полукруг) касалось одной стороны угла (изнутри), а остриё томагавка лежало на другой стороне угла. Одна из прямых трисекции тогда пройдёт вдоль ручки, другая прямая пройдёт через центр полукругаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Если угол, который следует разделить на три части, слишком острый по отношению к длине ручки томагавка, указанной процедурой угол на три части разделить нельзя, но это ограничение можно обойти, если удваивать угол, пока построение не будет возможным, затем делить нужное число раз угол пополамШаблон:Sfn.
Если вершину угла обозначить буквой A, точку касания лезвия буквой B, центр полукруга буквой C, основание ручки буквой D, а вершину острия буквой E, то треугольники ACD и ADE являются прямоугольными треугольниками с общей высотой и равными катетами при основании. Следовательно, эти треугольники равны. Поскольку стороны AB и BC треугольника ABC являются касательным отрезком и радиусом полуокружности, эти стороны равны AD и DC соответственно. Таким образом, треугольник ACD равен треугольникам ACB и AED, что показывает, что углы при вершине угла A равныШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Хотя сам томагавк можно построить с помощью циркуля и линейкиШаблон:Sfn и его можно использовать для трисекции угла, это не противоречит теореме 1837 года Пьера Ванцеля о том, что произвольный угол не может быть разделён на три части с помощью лишь циркуля и линейкиШаблон:Sfn. Причина в том, что размещение построенного томагавка в нужную позицию является видом невсиса, что не разрешается в построении с помощью циркуля и линейки[1].
История
Кто придумал томагавк, неизвестноШаблон:SfnШаблон:Sfn, но самая ранняя ссылка идёт из Франции XIX столетия. Прослеживаются ссылки до 1835, когда томагавк появился в книге Шаблон:Iw Шаблон:Lang-fr2Шаблон:Sfn. То же построение опубликовал Анри Брокар в 1877Шаблон:Sfn. Брокар, в свою очередь, приписывал изобретение построения французскому морскому офицеру Пьеру-Жозефу ГлотенуШаблон:SfnШаблон:Sfn[2].
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Ссылки
- Trisection using special tools: «Tomahawk», Takaya Iwamoto, 2006, featuring a tomahawk tool made from transparent vinyl and comparisons for accuracy against other trisectors
- Шаблон:Mathworld
- Construction heptagon with tomahawk, animation
- ↑ Слово «невсис» описали Ла Нейв и Мазур Шаблон:Harv в значении «семейство построений, зависящих от одного параметра». В этих построениях при изменении параметра происходят некоторые комбинаторные изменения в построении. Ла Нейв и Мазур описывают трисекцию, отличную от использования томагавка, но то же описание подходит и здесь — ручка томагавка помещается на вершину угла, параметризация производится позицией вершины острия томагавка на луче, что даёт семейство построений, в которой относительное положение лезвия и его луча меняются, пока остриё не будет помещено в нужное место.
- ↑ Дадли Шаблон:Harv ошибочно написал эти имена и как Bricard и Glatin.
