Русская Википедия:Топологическая семантика
Шаблон:Нет ссылок Топологическая семантика является естественной семантикой для неклассических логик, таких как интуиционистская логика и модальная логика. Исторически топологическая семантика появилась раньше более распространённой на данной момент семантики Крипке. Основы топологической семантики были заложены в работах Куратовского.
Топологическая семантика для модальной логики
Пусть <math>X</math> — топологическое пространство, топологической моделью называется пара <math>M = (X, V)</math>, где <math>V</math> — это оценка, которая каждой переменной ставит в соответствие множество точек топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной. А именно, <math>V: Var \to 2^X</math>, где <math>Var</math> — множество пропозициональных переменных. Истинность модальной формулы <math>A</math> в точке <math>x</math> топологической модели определяется индукцией по длине формулы:
<math>M, x\models p</math>, если <math>x\in V(p)</math> <math>M, x\not\models \perp</math> <math>M, x\models \lnot A</math>, если <math>M, x\not\models A</math> <math>M, x\models A \land B</math>, если <math>M, x\models A</math> и <math>M, x\models B</math> <math>M, x\models A \lor B</math>, если <math>M, x\models A</math> или <math>M, x\models B</math> <math>M, x\models A \to B</math>, если <math>M, x\not\models A</math> или <math>M, x\models B</math> <math>M, x\models \Box A</math>, если существует окрестность <math>U</math> точки <math>x</math>, такая что <math>\forall y:(y\in U \Rightarrow M, y\models A)</math>
Формула называется общезначимой в топологической модели, если она истинна во всех точках модели.
Формула называется общезначимой в топологическом пространстве, если она общезначима во всех моделях в этом пространстве.
Благодаря свойствам топологических пространств в любой топологической модели наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы:
<math>\Box p \to p</math> <math>\Box p \to \Box \Box p</math>
Для шкал Крипке эти формулы, соответственно, задают рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, называется S4.
Связь с семантикой Крипке
Пусть <math>F = (W, R)</math> - шкала Крипке, такая что <math>R</math> - транзитивное и рефлексивное отношение (т.е.<math>F</math> является предпорядком). На шкале <math>F</math> можно естественным образом определить топологическое пространство <math>Top(F)</math>. Базой топологии этого пространства являются множества вида
<math>R(x) = \{y \;|\; xRy \}</math>.
Другими словами, в <math>Top(F)</math> открытыми считаются все такие множества <math>U \subseteq W</math> для которых верно, что
<math>x \in U \land xRy \Rightarrow y \in U</math>.
Для любой точки, для любой оценки и любой формулы верно, что
<math>F, V, x \models A \iff Top(F), V, x \models A</math>
