Русская Википедия:Точка Лемуана
Шаблон:Центр треугольника То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается <math>K</math> или <math>L</math>) — одна из замечательных точек треугольника.
Определение
У точки Лемуана существует три равносильных определения:
- точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.
- точка пересечения симедиан.
- точка пересечения прямых, соединяющих середины сторон треугольника с серединами соответствующих им высот.
Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане.
Шестиугольник Лемуана, вписанный в данный опорный треугольник
Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.
Круги Лемуана
Лемуан доказал, что если прямые линии проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника лежат на одной окружности, или что они лежат на окружности. [1]. Эта окружность теперь известна, как первый круг или окружность Лемуана, или просто как круг Лемуана.[2]. Иными словами, шестиугольник Лемуана, определенный выше, является вписанным в окружность Лемуана.
История
Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе (Grebe), в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана "одним из драгоценных камней в короне современной геометрии".[3]
Свойства
- Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.
- Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
- Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
- Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к описанной окружности в вершинах треугольника. Этот треугольник называется тангенциальным треугольником.
- Точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан
- Точка Лемуана изотомически сопряжена его точке Брокара (третьей, в энциклопедии центров треугольника обозначенной как Х(76) ).
- Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности. Трилинейные поляры точек на описанной окружности проходят через точку Лемуана.
- Окружность, построенная на отрезке <math>OK</math> (<math>O</math> — центр описанной окружности) как на диаметре, содержит точки Брокара. Эта окружность называется окружностью Брокара.
- Прямая <math>OK</math> называется осью Брокара. Она содержит точки Аполлония и изогонально сопряжена гиперболе Киперта.
- Две точки Торричелли и точка Лемуана лежат на одной прямой.
- Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана. Эта прямая называется осью Брокара.
- При проективных преобразованиях, сохраняющих описанную окружность треугольника, точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.
- Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана [4].
Две окружности Лемуана
- Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (на первой окружности Лемуана). Центром первой окружности Лемуана является середина отрезка, который соединяет центр описанной окружности треугольника с точкой Лемуана. [5]
- Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (на второй окружности Лемуана). Точка Лемуана будет её центром. [6]
Координаты
- Трилинейные координаты точки Лемуана — <math>(a : b : c)</math>,
- барицентрические — <math>(a^2 : b^2 : c^2)</math>.
Ссылки
Примечания
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Книга:Акопян-Заславский
- ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. С. 108-110, п. 94-96, черт. 80-81
- ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. С. 111, п. 98
