Русская Википедия:Точная последовательность
Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов <math>G_i</math> с последовательностью гомоморфизмов <math>\varphi_i\colon G_i\rightarrow G_{i+1}</math>, такая что для любого <math>i</math> образ <math>\varphi_{i-1}</math> совпадает с ядром <math>\varphi_i</math> (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль <math>G_{i}</math> играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.
Связанные определения
- Точные последовательности типа
- <math>0\longrightarrow A \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} B \stackrel{\psi}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0</math>
- называются короткими точными последовательностями, в этом случае <math>\varphi</math> — мономорфизм, а <math>\psi</math> — эпиморфизм.
- При этом, если у <math>\varphi</math> есть правый обратный или у <math>\psi</math> левый обратный морфизм, то <math>B</math> можно отождествить с <math>A\oplus C</math> таким образом, что <math>\varphi</math> отождествляется с каноническим вложением <math>A</math> в <math>A\oplus C</math>, а <math>\psi</math> — с канонической проекцией <math>A\oplus C</math> на <math>C</math>. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.
- Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
- Если <math>\mathrm{Im}\,\varphi_i \subset \mathrm{Ker}\,\varphi_{i+1},</math> то последовательность называется полуточной.
Примеры
- В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если <math>F \to M \to B</math> — локально тривиальное расслоение над <math>B</math> со слоем <math>F</math>, то следующая последовательность гомотопических групп точна[1]:
- <math>\ldots \to \pi_n(F) \to \pi_n(M) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \ldots \to \pi_0(F) \to \pi_0(M) \to \pi_0(B)</math>
- Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:
- <math>\begin{align}
\cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\ &\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (A\cap B)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0. \end{align}</math>
- Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
- Пусть <math>E\to X</math> — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана[2] короткая точная последовательность расслоений
- <math>0 \longrightarrow VX \longrightarrow TE \longrightarrow HX \longrightarrow 0</math>
- и двойственная к ней
- <math>0 \longleftarrow V^*X \longleftarrow T^*E \longleftarrow H^*X \longleftarrow 0</math>
- Здесь <math>TE</math> — касательное расслоение к многообразию <math>E</math>, <math>VX</math> и <math>HX</math> — вертикальное и горизонтальное расслоения к <math>X</math> соответственно. <math>^*</math> обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).
- <math>0\to 2\pi i\,\mathbb Z \to \mathcal O_M\to\mathcal O_M^*\to 0,</math>
- где <math>\mathcal O_M</math> и <math>\mathcal O^*_M</math> — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии <math>M</math> и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций
Литература
- ↑ Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Шаблон:М: Мир, 1971.
- ↑ Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — Шаблон:М: УРСС, 1996. — 224 с.
