Русская Википедия:Точный функтор
Точный функтор — функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Бо́льшая часть гомологической алгебры была построена для того, чтобы сделать возможной работу с функторами, которые не являются точными, но их отличие от точных поддаётся контролю.
Определение
Пусть <math>P</math> и <math>Q</math> — абелевы категории и <math>F: P \to Q</math> — аддитивный функтор. Рассмотрим произвольную короткую точную последовательность:
- <math>0 \to A \to B \to C \to 0</math>
объектов <math>P</math>.
Если <math>F</math> — ковариантный функтор, <math>F</math> является:
- полуточным, если <math>F(A) \to F(B) \to F(C)</math> точна;
- точным слева, если <math>0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)</math> точна;
- точным справа, если <math>F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0</math> точна;
- точным, если <math>0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0</math> точна.
Если <math>G</math> — контравариантный функтор из <math>P</math> в <math>Q</math>, <math>G</math> является:
- полуточным, если <math>G(C) \to G(B) \to G(A)</math> точна;
- точным слева, если <math>0 \to G(C) \to G(B) \to G(A)</math> точна;
- точным справа, если <math>G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0</math> точна;
- точным, если <math>0 \to G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0</math> точна.
Не обязательно брать в качестве исходной последовательность именно такого вида; например, точный функтор можно определить как функтор, переводящий точные последовательности вида <math>A \to B \to C</math> в точные последовательности.
Существует ещё одно определение точного функтора: ковариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы. При замене слова «ковариантный» на «контравариантный» или «слева» на «справа» нужно одновременно заменить «пределы» на «копределы». Точный функтор — это функтор, точный слева и справа.
Примеры
- Любая эквивалентность абелевых категорий точна.
- Наиболее важный пример точного слева функтора — функтор Hom. Если <math>\mathcal A</math> — произвольная абелева категория и <math>A</math> — её объект, то <math>\mathrm{Hom}_\mathcal A (A, X)</math> — ковариантный аддитивный функтор в категорию абелевых группШаблон:Sfn. Этот функтор является точным тогда и только тогда, когда <math>A</math> проективен. Соответственно, контравариантный функтор <math>\mathrm{Hom}_\mathcal A (X, A)</math> точен тогда и только тогда, когда <math>A</math> инъективен.
- Если <math>T</math> — правый <math>R</math>-модуль, то возможно определить функтор <math>H_T</math> из категории левых <math>R</math>-модулей в <math>\mathbf{Ab}</math> с помощью тензорного произведения над <math>R: H_T(X) = T \otimes X</math>. Этот функтор является точным справа; он точен тогда и только тогда, когда <math>T</math> — плоский модуль.
- Предыдущие два примера можно обобщить: в любой паре сопряженных аддитивных функторов левый сопряженный точен справа, а правый сопряженный точен слева.
Примечания
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
- Шаблон:Книга
- Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1. Lecture notes in mathematics (in French) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.
