Русская Википедия:Трижды периодическая минимальная поверхность
Трижды периодическая минимальная поверхность (ТПМП, Шаблон:Lang-en, TPMS) — это минимальная поверхность в <math>\mathbb{R}^3</math>, являющаяся инвариантом по переносам в решётке ранга 3.
Эти поверхности имеют симметрии кристаллографической группы. Известны многочисленные примеры с кубическими, тетрагональными, гексагональными и ромбическими симметриями. Моноклинные и триклинные примеры определённо существуют, но было доказано, что их сложно параметризоватьШаблон:R.
ТПМП востребованы в естественных науках. ТПМП были обнаружены как биологические мембраныШаблон:Sfn, как блок-сополимерыШаблон:Sfn, эквипотенциальные поверхности в кристаллах Шаблон:Sfn и др. Они также вызывают интерес в архитектуре, художественном оформлении и искусстве.
Свойства
Почти все изучавшиеся ТПМП не имели самопересечений (то есть были вложены в <math>\mathbb{R}^3</math>) — с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающихся поверхностей очевидным образом имеется в изобилии)Шаблон:Sfn.
Все связные ТПМП имеют род <math>\geqslant 3</math>Шаблон:Sfn и в любой решётке существуют ориентированные вложенные ТПМП любого рода <math>\geqslant 3</math>Шаблон:Sfn.
Вложенные ТПМП ориентируемы и делят пространство на два непересекающихся подобъёма (лабиринта). Если эти два лабиринта конгруэнтны, говорят, что поверхность является сбалансированной поверхностьюШаблон:R.
История
Первыми примерами ТПМП были описанные Шварцем поверхности в 1865, за которыми последовала поверхность, описанная его студентом Э. Р. Неовиусом в 1883Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
В 1970 году Алан Шён выступил с 12 новыми ТПМП, основанными на скелетных схемах кристаллографических решётокШаблон:RШаблон:RШаблон:R. Хотя поверхности Шёна завоевали популярность в естественных науках, построения не получили математического доказательства существования и оставались большей частью неизвестными для математиков, пока в 1989 году Г. Керхер не доказал их существованиеШаблон:Sfn.
С помощью сопряжённых поверхностей было найдено много других поверхностей. Хотя представления Вейерштрасса известны для простых примеров, для большинства поверхностей они не известны. Вместо этого зачастую используются методы дискретной дифференциальной геометрииШаблон:Sfn.
Семейства
Классификация ТПМП является открытой проблемой.
ТПМП часто образуют семейства, и их можно непрерывно деформировать из одной в другую. Миикс нашёл семейство с 5 параметрами для ТПМП рода 3, которое содержит все известные примеры поверхностей рода 3, за исключением гироидаШаблон:Sfn. Члены этого семейства можно непрерывно деформировать одно в другое, при этом поверхность остаётся вложенной во время процесса деформации (хотя решётка может меняться). Гироид и лидиноид находятся в отдельном 1-параметрическом семействеШаблон:Sfn.
Другой подход классификации ТПМП заключается в рассмотрении их пространственных групп. Для поверхностей, содержащих прямые, можно перенумеровать возможные граничные многоугольники, обеспечивая тем самым классификациюШаблон:RШаблон:Sfn.
Обобщения
Периодические минимальные поверхности можно построить в S3Шаблон:Sfn и H3Шаблон:Sfn.
Можно обобщить разбиение пространства на лабиринты, чтобы найти трижды периодические (возможно, ветвящиеся) минимальные поверхности, которые разбивают пространство более чем на две частиШаблон:Sfn.
Шаблон:Не переведено 5 минимальные поверхности были построены в <math>\mathbb{R}^2\times\mathbf{S}^1</math>Шаблон:Sfn. Было высказано предположение, так и не доказанное, что минимальные поверхности с квазикристаллическим порядком существуют в <math>\mathbb{R}^3</math>Шаблон:Sfn.
Галерея внешних изображений
- ТПМП галерея Кена Бракке [1]
- ТПМП из Архива Мнимальных Поверхностей [2]
- Трижды периодические сбалансированные минимальные поверхности с кубической симметрией [3]
- Галерея минимальных периодических поверхностей [4]
- 3-периодические минимальные поверхности без самопересечений [5]
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Шаблон:Минимальные поверхности Шаблон:Rq
