Русская Википедия:Универсум Гротендика

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Униве́рсум Гротенди́ка в математике — непустое множество <math>\mathcal{U}</math>, такое что:

1. если <math>x\in\mathcal{U}</math> и <math>y\in x</math>, то <math>y\in\mathcal{U}</math>;
2. если <math>x,y\in\mathcal{U}</math>, то <math>\{x,y\}\in\mathcal{U}</math>;
3. если <math>x\in\mathcal{U}</math>, то <math>\mathcal{P}(x)\in\mathcal{U}</math>;
4. если <math>(x_i,i\in I)</math> — семейство элементов <math>\mathcal{U}</math> и <math>I\in\mathcal{U}</math>, то <math>\bigcup_{i\in I}x_i\in\mathcal{U}</math>.

Универсумы Гротендика используются в теории категорий в качестве альтернативы собственным классам. Идея универсумов принадлежит Александру Гротендику, который впервые описал их и применил в теории топосов на семинаре SGA.

Свойства

Следующие свойства универсумов Гротендика следуют сразу же из определения:

• если <math>x\in\mathcal{U}</math>, то одноэлементное множество <math>\{x\}</math> также принадлежит <math>\mathcal{U}</math>;
• если <math>x\in\mathcal{U}</math> и <math>y</math> — подмножество в <math>x</math>, то <math>y\in\mathcal{U}</math>;
• если <math>x,y\in\mathcal{U}</math>, то упорядоченная пара <math>(x,y)</math> также принадлежит <math>\mathcal{U}</math>;
• если <math>x,y\in\mathcal{U}</math>, то объединение <math>x\cup y</math> и декартово произведение <math>x\times y</math> принадлежат <math>\mathcal{U}</math>;
• если <math>(x_i,i\in I)</math> — семейство элементов <math>\mathcal{U}</math> и <math>I\in\mathcal{U}</math>, то <math>\prod_{i\in I}x_i\in\mathcal{U}</math>;
• если <math>x\in\mathcal{U}</math>, то <math>card(x)<card(\mathcal{U})</math> (в частности, универсум Гротендика не является своим собственным элементом).

Аксиома об универсумах

В SGA4 вводится следующая аксиома об универсумах:

• Для любого множества <math>x</math> существует универсум <math>\mathcal{U}</math> такой, что <math>x\in\mathcal{U}</math>.

Связанные определения

Пусть выбран некоторый универсум Гротендика <math>\mathcal{U}</math>.

• Множество <math>x</math> называется <math>\mathcal{U}</math>-малым, если <math>x\in\mathcal{U}</math>;
• Категория <math>\mathbf{C}</math> называется <math>\mathcal{U}</math>-малой, если множества её объектов и морфизмов являются <math>\mathcal{U}</math>-малыми;
• Категория <math>\mathbf{C}</math> называется локально <math>\mathcal{U}</math>-малой, если все её hom-множества являются <math>\mathcal{U}</math>-малыми.

В частности, категория <math>\mathcal{U}-\mathbf{Set}</math> всех <math>\mathcal{U}</math>-малых множеств не является <math>\mathcal{U}</math>-малой, но является локально <math>\mathcal{U}</math>-малой.