Русская Википедия:Уравнение Винера — Хопфа
Уравне́ние Ви́нера — Хо́пфа — линейное интегральное уравнение с разностным ядром на положительной полуоси:
- <math>\beta \varphi(x)=\lambda\int_{0}^\infty K(x-s)\varphi(s)\,ds+f(x),</math>
где <math>\varphi(x)</math> — искомая функция; <math>f(x)</math>, <math>K(x-s)</math> — известные функции, <math>\lambda, \beta</math> — параметры. При <math>\beta=0</math> называется уравнением Винера-Хопфа 1-го рода, при <math>\beta=1</math> называется уравнением Винера-Хопфа 2-го рода. Было получено Винером и Хопфом при решении задачи радиационного равновесия внутри звезд. Также используется в кибернетике, при решении задач выделения и фильтрации полезного сигнала из его смеси с шумом.
Метод решения
Для решения вводятся т. н. односторонние функции <math>\varphi_{+}(x)</math> и <math>f_{+}(x)</math>, равные <math>\varphi(x)</math> и <math>f(x)</math> при x>0 и равные 0 при x<0 и функция <math>\varphi_{-}(x)</math>, равная 0 при x>0. При помощи односторонних функций уравнение записывается в виде: <math>\beta \varphi_{+}(x)=\lambda\int_{-\infty}^{+\infty} K(x-s)\varphi_{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi_{-}(x)</math>. Таким образом, при помощи односторонних функций область определения уравнения продолжается на отрицательную полуось. Затем применяется прямое преобразование Фурье <math>\varphi^{\pm}(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_{\pm}(x)e^{iux}dx</math>. Для уравнения-образа <math>\varphi^{+}(u)=\frac{f^{+}+\varphi^{-}}{\beta-\lambda K^{*}(u)}</math> решается краевая задача Римана, т.е. определяются функции <math>\varphi^{-}</math> и <math>\varphi^{+}</math>. Решение интегрального уравнения является обратным преобразованием Фурье функции <math>\varphi^{+}</math>: <math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi^{+}(u)e^{-iux}du</math>.
Литература
- Физическая энциклопедия. Т. 1. / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М. Сов. энциклопедия, 1988.
- Гл. 6 «Творческие успехи и радости. 1927—1931 // Винер Н. Я-математик. — М.: Наука, 1964. В 48 51 (09) УДК 510 (092), 353 с. (с. 120—143).
- Гл. 3 «Синтез линейных систем. Оптимальные системы», п. 3.3 «Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера — Хопфа» // Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В. Техническая кибернетика: учеб. пособие. — М.: Изд-во МАИ, 1994. — 280 с. (с. 60-63). — ISBN 5-7035-0489-9.
- Гл. 5 «Методы решения интегральных уравнений», п. 5.9-1 «Уравнение Винера — Хопфа второго рода» // Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1;
- Гл. 7 «Интегральные уравнения», п. 4 «Некоторые специальные классы уравнений», п.п 8 «Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси» // Мышкис А. Д. Математика для технических вузов: спец. курсы. — 2-е изд. — СПб.: Лань, 2002. — 640 с. — ISBN 5-8114-0395-X.
- Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 352 с.
