Русская Википедия:Уравнение Дирака для графена

Шаблон:Main Шаблон:Графен Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и их свойства полностью описываются уравнением Дирака ^[1]. Сами дираковские точки находятся на краях зоны Бриллюэна, где электроны обладают большим волновым вектором. Если пренебречь процессами переброса между долинами, то этот большой вектор никак не влияет на транспорт в низкоэнергетическом приближении, поэтому волновой вектор, фигурирующий в уравнении Дирака, отсчитывают от дираковских точек и уравнение Дирака записывают для разных долин отдельно.

Вывод

Зонная структура

Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид

<math>

H=-t\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)-t\sum_{i\in\Lambda_B}\sum_{j=1}^3b^{\dagger}(\textbf{r}_i)a(\textbf{r}_i+\textbf{v}_j),\qquad (1.1) </math> где <math>t</math> — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы <math>a^{\dagger}(\textbf{r}_i)</math> и <math>b^{\dagger}(\textbf{r}_i)</math> операторы рождения, действующие на треугольных подрешётках кристалла <math>\Lambda_A</math> и <math>\Lambda_B</math> соответственно, <math>a(\textbf{r}_i)</math> и <math>b(\textbf{r}_i)</math> — операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:

<math>

[a(\textbf{r}_i),a^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=[b(\textbf{r}_i),b^{\dagger}(\textbf{r}_{i^{'}})]_{+}=\delta_{ii^{'}}. \qquad (1.2) </math>

Шесть векторов <math>\textbf{u}_i</math> и <math>\textbf{v}_i</math> указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями

<math>

\textbf{u}_1=(-d,0),\,\textbf{u}_2=\left(\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{u}_3=\left(\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\qquad (1.3) </math>

<math>

\textbf{v}_1=(d,0),\,\textbf{v}_2=\left(-\frac{1}{2}d,-\frac{\sqrt{3}}{2}d\right),\,\textbf{v}_3=\left(-\frac{1}{2}d,\frac{\sqrt{3}}{2}d\right).\qquad (1.4) </math>

Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения

<math>

a(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a}(\textbf{k}),b(\textbf{r}_i)=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{b}(\textbf{k}),\qquad (1.5) </math>

где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде

<math>

H=\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})\tilde{H}\tilde{\psi}(\textbf{k}),\qquad (1.6) </math>

где приняты следующие обозначения:

<math>

\tilde{\psi}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}(\textbf{k}),\tilde{b}(\textbf{k})\right)^{T},\,\tilde{\psi}^{\dagger}(\textbf{k})=\left(\tilde{a}^{\dagger}(\textbf{k}),\tilde{b}^{\dagger}(\textbf{k})\right),\qquad (1.7) </math>

и

<math>

\tilde{H}=\left(

               \begin{array}{cc}
                 0 & -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j} \\
                 -t\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_j} & 0 \\
               \end{array}
             \right).    \qquad (1.8)

</math>

Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму

<math>

\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3a^{\dagger}(\textbf{r}_i)b(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j),\qquad (1.9) </math>

которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде

<math>

\sum_{i\in\Lambda_A}\sum_{j=1}^3\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}e^{i\textbf{k}^{'}(\textbf{r}_i+\textbf{u}_j)}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}),\qquad (1.10) </math>

или

<math>

\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\int\limits_{BZ}\frac{d^2k^{'}}{(2\pi)^2}\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}^{'}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}^{'}).\qquad (1.11) </math>

Используя соотношение

<math>

\sum_{i\in\Lambda_A}e^{-i\textbf{k}\textbf{r}_i+i\textbf{k}^{'}\textbf{r}_i}=(2\pi)^2\delta\left(\textbf{k}^{'}-\textbf{k}\right),\qquad (1.12) </math>

получим после интегрирования по <math>\textbf{k}^{'}</math> выражение

<math>

\int\limits_{BZ}\frac{d^2k}{(2\pi)^2}\tilde{a\dagger}(\textbf{k})\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\tilde{b}(\textbf{k}).\qquad (1.13) </math>

Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).

Собственные значения гамильтониана (1.8) принимают значения

<math>

E=\pm t\sqrt{\sum_{j=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{u}_j}\sum_{j^{'}=1}^3e^{i\textbf{k}\textbf{v}_{j^{'}}}}=\pm t\sqrt{\left(e^{-ik_xd}+2e^{ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(e^{ik_xd}+2e^{-ik_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}= </math>

<math>

\pm t\sqrt{\left(1+2e^{i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)\left(1+2e^{-i3k_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}dk_y}\right)}=\pm t\sqrt{1+4\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\left[\cos\left(\frac{3}{2}k_xd\right)+\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}k_yd\right)\right]},\qquad (1.14) </math>

которые определяют зонную структуру графена.^[2]

Низкоэнергетическое приближение

Зоны (1.14) с положительной энергией (электронов) и с отрицательной энергией (дырок) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны

<math>

\left(0,\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(0,-\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(\frac{2\pi}{3d},-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{2\pi }{3\sqrt{3}d}\right),\,\left(-\frac{2\pi}{3d},\frac{-2\pi }{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.1) </math>

Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами

<math>

\textbf{K}^{\pm}=\left(0,\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}\right).\qquad (2.2) </math>

Рассмотрим недиагональный элемент <math>\tilde{H}_{12}</math> гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d

<math>

\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\tilde{H}_{12}|_{\textbf{k}=\textbf{K}^{\pm}+\boldsymbol{\kappa}}=-t\lim_{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa_xd}+2e^{i\kappa_xd/2}\cos{\frac{\sqrt{3}d}{2}}\left(\pm\frac{4\pi}{3\sqrt{3}d}+\kappa_y\right)\right)=\frac{3t}{2 }(i\kappa_x\pm\kappa_y).\qquad (2.3) </math>

Для <math>\tilde{H}_{21}</math> разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде

<math>

\left(

\begin{array}{cc}
 H^{+} & 0 \\
 0 & H^{-} \\
\end{array}

\right)=\hbar v_F(\alpha^1\kappa_x+\alpha^2\kappa_y), \qquad (2.4) </math>

где фермиевская скорость <math>v_F=3td\hbar^{-1}/2</math> и

<math>

\alpha^1=-\left(

\begin{array}{cc}
 \sigma^2 & 0 \\
 0 & \sigma^2 \\
\end{array}

\right),\,\alpha^2=\left(

\begin{array}{cc}
 \sigma^1 & 0 \\
 0 & -\sigma^1 \\
\end{array}

\right). \qquad (2.5) </math>

Здесь <math>\sigma^1</math> и <math>\sigma^2</math> — матрицы Паули.

Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене

<math>

H=-i\hbar v_F(\alpha^1\partial_x+\alpha^2\partial_y). \qquad (2.6) </math>

Решением уравнени Дирака для графена <math>H\psi=E\psi</math> будет четырёхкомпонентный столбец вида

<math>

\psi=(\psi_A^{+},\psi_B^{+},\psi_A^{-},\psi_B^{-})^{T}, \qquad (2.7) </math> где индексы ^{<math>A</math>} и ^{<math>B</math>} соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.^[2]

Произвольный поворот системы координат

Поскольку закон дисперсии не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол <math>\alpha</math> системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида^[3]

<math>

H_{\pm}=-i\hbar v \left(

 \begin{array}{cc}
   0 & e^{\pm i\alpha}(i\partial_x\pm \partial_y) \\
   e^{\mp i\alpha}(-i\partial_x\pm \partial_y) & 0 \\
 \end{array}

\right),\qquad (3.1)</math> из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).

В литературе встречается гамильтониан в виде^[4]

<math>

H_{\pm}=-i\hbar v \left(

 \begin{array}{cc}
   0 & \pm\partial_x-i\partial_y \\
   \pm\partial_x+i\partial_y & 0 \\
 \end{array}

\right),\qquad (3.2)</math>

который получается из (3.1) если взять угол <math>\alpha=-\pi/2</math>.

Решение уравнения Дирака

Рассмотрим гамильтониан для одной долины

<math>H_{+}=-i\hbar v\begin{pmatrix} 0 & i\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y}\\ -i\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}.\qquad (4.1)</math>

Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов

<math>\Psi=\begin{pmatrix} \phi\\ \chi\end{pmatrix}.\qquad (4.2)</math>

Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц

<math>\left\{\begin{matrix} -i\hbar v\left(i\frac{\partial\chi}{\partial x}+\frac{\partial\chi}{\partial y}\right)=E\phi & \\ -i\hbar v\left(-i\frac{\partial\phi}{\partial x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)=E\chi & \end{matrix}\right.\qquad (4.3)</math>

Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение

<math>\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=-\frac{E^2}{\hbar^2v^2}\phi,\qquad (4.4)</math>

решением которого будет плоская волна

<math>\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.5)</math>

Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра

<math>E=\pm\hbar vk_F=\pm\hbar v\sqrt{k_x^2+k_y^2}.\qquad (4.6)</math>

Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)

<math>\chi=-i\frac{\hbar v \left(k_x+ik_y\right)}{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}=-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F }{E}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.7)</math>

Поэтому волновая функция для <math>K^{+}</math> долины запишется в виде

<math>\Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\-ie^{i\theta}\frac{\hbar vk_F}{E}\end{pmatrix}e^{ik_xx+ik_yy}.\qquad (4.8)</math>

Литература

Шаблон:Статья

Ссылки

Шаблон:Reflist

↑ Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) Шаблон:DOI
↑ ^2,0 ^2,1 Sitenko Yu. A., Vlasii N. D. Electronic properties of graphene with a topological defect Nucl. Phys. B 787, 241 (2007) Шаблон:DOI Препринт
↑ Ando T. «Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes» J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005) Шаблон:DOI
↑ Gusynin V. P., et. al. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007) Шаблон:DOI

[novoselov_Nature_2005-1] Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) Шаблон:DOI

[Sitenko_NPB_2007-2] 2,0 ^2,1 Sitenko Yu. A., Vlasii N. D. Electronic properties of graphene with a topological defect Nucl. Phys. B 787, 241 (2007) Шаблон:DOI Препринт

[ando_JPSJ_2005-3] Ando T. «Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes» J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005) Шаблон:DOI

[Gusynin_IJMPB_2007-4] Gusynin V. P., et. al. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007) Шаблон:DOI

[1]

[2]

[3]

[4]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Уравнение Дирака для графена

Содержание

Вывод

Зонная структура

Низкоэнергетическое приближение

Произвольный поворот системы координат

Решение уравнения Дирака

Литература

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты