Русская Википедия:Уравнение Лапласа
Уравнение Лапласа — дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:
- <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0</math>
и является частным случаем уравнения Гельмгольца.
Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:
- <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math>
Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.
С помощью дифференциального оператора
- <math>\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...</math>
— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как <math>\Delta u = 0</math>. В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).
Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.
- Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".
Другие формы уравнения Лапласа
- В сферических координатах <math>\ (r,\theta,\varphi)</math> уравнение имеет вид
- <math>{1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0</math> Особые точки <math>r = 0, \theta = 0, \theta = \pi</math>.
- В полярных координатах <math>(r,\varphi)</math> уравнение имеет вид
- <math>\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \varphi ^2} = 0</math>
Особая точка <math>r = 0</math>.
- В цилиндрических координатах <math>(r,\varphi,z)</math> уравнение имеет вид
- <math>{1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r {\partial f \over \partial r} \right)
+ {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0</math> Особая точка <math>r = 0</math>.
См. также оператор набла в различных системах координат.
Применение уравнения Лапласа
Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера.
Решения уравнения Лапласа
Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сопряжено с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.
Общее решение
Одномерное пространство
В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:
- <math>f(x) = C_1 x + C_2 </math>
где <math>C_1, C_2</math> — произвольные постоянные.
Двумерное пространство
Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.
Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде
- <math>\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.</math>
Аналитические функции
Если z = x + iy, и
- <math>f(z) = u(x,y) + iv(x,y),</math>
то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:
- <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ,~ \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .</math>
И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем
- <math>u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.</math>
А это не что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.
Функция Грина
Задача Дирихле
Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области и известны её значения на границе.
Задача Неймана
Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной по нормали искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.
Литература
- Шаблон:Книга
- Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.
- Публикация Леонарда Эйлера, в которой впервые выводится уравнение Лапласа для потенциала скорости при безвихревом течении идеальной жидкости
