Русская Википедия:Уравнение Ричардса
Уравнение Ричардса, описывающее влагоперенос в зоне аэрации (в ненасыщенной зоне), было сформулировано Лоренцо А. Ричардсом в 1931 году[1]. Оно представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, основная трудность решения которого заключается в отсутствии точных аналитических решений.
Закон Дарси разработан для описания потока влаги в водонасыщенной пористой среде, адаптируя его, Ричардс использовал предложение Шаблон:Нп3 (1907) и вывел общее дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает ненасыщенный влагоперенос в зоне аэрации. Наиболее известной формой записи является:
- <math>\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z}
\left[ K(\theta) \left (\frac{\partial \psi}{\partial z} + 1 \right) \right]\ </math> где
- <math>K</math> — коэффициент фильтрации в ненасыщенной зоне,
- <math>\psi</math> — высота всасывающего давления,
- <math>z</math> — высота над плоскостью сравнения,
- <math>\theta</math> — объемная влажность, и
- <math>t</math> — время.
Уравнение Ричардса аналогично уравнению влагопереноса в насыщенной зоне, переход от одного к другому обусловлен представлением напора в виде h = ψ + z, и заменой насыщенного потока ненасыщенным. Использование формы записи приведенной выше обусловлено удобством описания граничных условий (часто описываемых в терминах напора, например для использования атмосферного условия ψ = 0).
Вывод уравнения
В этом разделе будет показан вывод уравнения Ричардса для вертикального влагопереноса в очень упрощенном виде. Закон сохранения массы гласит, что величина изменения водонасыщения в закрытом объеме равна величине изменения суммы всех (отрицательных и положительных) потоков влаги в данном объеме. Опишем это математическим языком:
- <math>\frac{\partial \theta}{\partial t}= \vec{\nabla} \cdot \left(\sum_{i=1}^n{\vec{q}_{i,\,\text{in}}} - \sum_{j=1}^m{\vec{q}_{j,\,\text{out}}} \right)</math>
Введем одномерную форму записи для направления <math>\hat{k}</math>:
- <math>\frac{\partial \theta}{\partial t}= -\frac{\partial}{\partial z} q </math>
Горизонтальный поток описан эмпирическим Законом Дарси:
- <math>q= - K \frac{\partial h}{\partial z} </math>
Подставив q в уравнение выше, получим:
- <math>\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z} \left[ K \frac{\partial h}{\partial z}\right] </math>
И используем выражение для напора h = ψ + z:
- <math>\frac{\partial \theta}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial z} \left[ K \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} + \frac{\partial z}{\partial z} \right ) \right] = \frac{\partial}{\partial z} \left[ K \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} + 1 \right ) \right]</math>
Таким образом, получено уравнение Ричардса[2] .
Формулировка
Уравнение Ричардса используется во многих статьях, посвященных вопросам экологии, потому что оно описывает поток на границе подземных и поверхностных вод (атмосферных осадков, водоемов, рек и т. д.), что является чрезвычайно важным при моделировании миграции различных компонентов. Его так же рассматривают и в чисто математических журналах, потому что его решение не тривиально. Обычно, оно выражается в трех разных формах. Смешанная форма (mixed form), рассмотренная выше, включает в себя описание в терминах и напора и влажности. А также две другие формы записи, в терминах напора (head-based) и водонасыщения (saturation-based).
Запись в терминах напора
- <math> C(h)\frac{\partial h}{\partial t}= \nabla \cdot K(h) \nabla h </math>
Где C(h) [1/L], [1/м] — это функция водонасыщения от напора:
- <math> C(h) \equiv \frac{\partial \theta }{\partial h} </math>
Эта функция носит название общей гидрофизической характеристики (ОГХ) и может быть определена для различных типов почв на основе метода подбора кривых (метод подбора экспериментального уравнения по кривой) и лабораторных экспериментов, определяющих величину инфильтрации через почвенную (грунтовую) колонку. Одной из наиболее признанных является экспериментальная зависимость, предложенная Ван Генухтеном (van Genuchten) в 1980 году[3].
Запись в терминах водонасыщения
- <math> \frac{\partial \theta }{\partial t}= \nabla \cdot D(\theta) \nabla \theta </math>
Где D(θ) [L2/T] — коэффициент влагопереноса:
- <math> D(\theta) \equiv \frac{ K(\theta) }{C(\theta)} \equiv K(\theta)\frac{\partial h}{ \partial \theta} </math>
Ограничения применимости
Численное решение уравнения влагопереноса Ричардса критиковалось за большие вычислительные затраты и непредсказуемость[4][5], обусловленную тем, что нет гарантии, что вычислительный комплекс (solver) найдет решение (сойдется) для конкретных почвенных характеристик. Также отмечалось, что в данном методе преувеличена роль капиллярных сил[6] и в некоторой степени его критиковали за излишнюю простоту[7]. При моделировании одномерного влагопереноса метод требует разбивки высокой дискретности для области граничащей с поверхностью (величина дискретизации должна быть не более одного сантиметра). При трехмерном моделировании численное решение уравнения Ричардса определяется соотношением сторон, где отношение горизонтального и вертикального размеров ячейки модели в расчетной области должно быть не больше 7.
Ссылки
См. также
- Гидрогеология
- Основная гидрофизическая характеристика
- Finite water-content vadose zone flow method
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Short, D., W.R. Dawes, and I. White, 1995.
- ↑ Tocci, M. D., C. T. Kelley, and C. T. Miller (1997), Accurate and economical solution of the pressure-head form of Richards' equation by the method of lines, Adv.
- ↑ Germann, P. (2010), Comment on “Theory for source-responsive and free-surface film modeling of unsaturated flow”, Vadose Zone J. 9(4), 1000-1101.
- ↑ Gray, W. G., and S. Hassanizadeh (1991), Paradoxes and realities in unsaturated flow theory, Water Resour.
