Русская Википедия:Уравнение состояния Ми — Грюнайзена
Уравнение состояния Ми — Грюнайзена — это уравнение, описывающее связь между давлением и объёмом тела при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе ударного сжатия твёрдого тела. Названо в честь немецкого физика Эдуарда Грюнайзена. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей[1] форме:
- <math> p - p_0 = \frac{\Gamma}{V} (e - e_0), </math>
где p0 и e0 — давление и внутренняя энергия в начальном состоянии, V — объём, p — давление, e — внутренняя энергия, и Γ — коэффициент Грюнайзена, который характеризует термическое давление со стороны колеблющихся атомов. p — полное давление, p0 — «холодное» давление. Коэффициент Грюнайзена безразмерен. В правой части уравнения Ми — Грюнайзена находится тепловое давление.
Функция Грюнайзена[2] — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:
- <math>\Gamma = V \left(\frac{dp}{de}\right)_V.</math>
Производная берётся при постоянном объёме.
Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы статистической физики и предположение о линейности межатомных взаимодействий.
Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения[3].
Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется уравнение Ранкина-Гюгонио для сохранения массы, момента и энергии:
- <math> \rho_0 U_s = \rho (U_s - U_p) ~~, \quad p_H - p_{H0} = \rho_0 U_s U_p ~~, \quad
p_H U_p = \rho_0 U_s \left(\frac{U_p^2}{2} + E_H - E_{H0}\right), </math>
где ρ0 — относительная плотность, ρ — плотность после ударного сжатия, pH — давление Гюгонио, EH — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, Us — скорость удара, и Up — скорость частиц.
Параметры для различных материалов
Типичные различные для разных материалов величины для моделей в форме Ми — Грюнайзена.[4]
| Материал | <math>\rho_0</math> (kg/m3) | <math>c_0</math> (m/s) | <math>s</math> | <math>\Gamma_0</math> | <math>\alpha</math> | <math>p_0</math> | <math>e_0</math> (K) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Медь | 8924 | 3910 | 1.51 | 1.96 | 1 | 0 | 0 |
| Вода | 1000 | 1483 | 2.0 | 2.0 | 10−4 | 0 | 0 |
Параметр Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями
Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности <math>d</math> имеет вид[1]:
- <math>
\Gamma_0 = -\frac{1}{2d}\frac{\Pi(a)a^2 + (d-1)\left[\Pi(a)a - \Pi'(a)\right]}{\Pi(a)a + (d-1)\Pi'(a)},
</math>
где <math>\Pi</math> — потенциал межатомного взаимодействия, <math>a</math> — равновесное расстояние, <math>d</math> — размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.
| Решетка | Размерность | Потенциал Леннард-Джонса | Потенциал Ми | Потенциал Морзе |
|---|---|---|---|---|
| Цепочка | <math> d=1 </math> | <math>10\frac{1}{2} </math> | <math>\frac{m+n+3}{2}</math> | <math>\frac{3\alpha a}{2}</math> |
| Треугольная решётка | <math>d=2 </math> | <math>5</math> | <math> \frac{m+n+2}{4}</math> | <math> \frac{3\alpha a - 1}{4}</math> |
| ГЦК, ОЦК | <math>d=3 </math> | <math>\frac{19}{6} </math> | <math>\frac{n+m+1}{6}</math> | <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math> |
| «Гиперрешётка» | <math>d=\infty</math> | <math>-\frac{1}{2}</math> | <math>-\frac{1}{2}</math> | <math>-\frac{1}{2}</math> |
| Общая формула | <math>d</math> | <math>\frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}</math> |
Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепочки с взаимодействиями посредством потенциала Ми, приведенное в таблице, в точности совпадает с результатом статьи[5].
См. также
Литература
- ↑ 1,0 1,1 Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. — С. 67—72.
- ↑ Vocadlo L., Poirer J.P., Price G.D. Grüneisen parameters and isothermal equations of state. American Mineralogist. — 2000. V. 85. — P. 390—395.
- ↑ Harris P., Avrami L. Some Physics of the Gruneisen Parameter. Technical report. — 1972.
- ↑ Shyue K.-M., A Fluid-Mixture Type Algorithm for Compressible Multicomponent Flow with Mie-Gruneisen Equation of State // Journal of Computational Physics. — 2001. Vol. 52. 3363 p.
- ↑ Шаблон:Citation
