Русская Википедия:Уравнение трёх моментов
Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки[1].
Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов[2]:
- <math>
M_{i-1}l_i + 2M_i(l_i+l_{i+1})+ M_{i+1}l_{i+1}=
-6\left(\frac{\Omega_ia_i}{l_i}+\frac{\Omega_{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}}\right).
</math>
Здесь <math>\Omega_i</math> — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, <math>a_i</math> — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, <math>b_i</math> — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, <math>l_i=a_i+b_i</math> — длина i-й балки.
Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введения шарниров над опорами получается статически определимая система из <math>n</math> балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок.
История
Винсент ван Гог, 1887
Впервые уравнение для расчёта неразрезных балок применил мостостроитель и путейский инженер Берто (Bertot) в 1855 г[3]. Сам же метод применялся ранее (1849) при реконструкции моста через Сену в Аньере (пригород Парижа, ныне известный как Аньер-сюр-Сен, Шаблон:Lang-fr), но опубликован Клапейроном в трудах Академии наук только в 1857 г. Так как идея основной системы с неизвестными моментами над опорами впервые была высказана Клапейроном, уравнение трёх моментов связывают с его именем[4]. Дальнейшее развитие теория неразрезных балок получила в работах Отто Мора, который обобщил теорию на случай, когда опоры расположены на разной высоте (1860).
Процедура применения
Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова.
1. Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор.
Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты <math>M_0, M_1,..., M_{n}</math>.
2. Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно <math>n</math>. Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер <math>n+1</math>. Длины пролётов: <math>l_i</math>, <math>i=0,...,n+1</math>.
3. Из условия равновесия консольных частей определяются моменты <math>M_0</math> и <math>M_n</math>. Остальные моменты являются неизвестными системы <math>n-1</math> уравнений трёх моментов.
4. Строятся эпюры моментов <math>M_p</math> и перерезывающих сил <math>Q_p</math> в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку.
5. Вычисляются площади эпюр моментов <math>\Omega_i</math>, <math>i=1,...,n</math> в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой (<math>a_i</math>) и правой (<math>b_i</math>) опоры соответствующего пролёта.
6. Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке.
Пример
Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка <math>q_1= 10</math> кН/м, <math>q_2=12</math> кН/м и сосредоточенная сила <math>P = 9</math> кН.
Длина консоли: <math>l_0=4</math> м. Длины пролетов: <math>l_1=l_2=l_3=5</math> м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты <math>M_0</math> и <math>M_3</math> — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, <math>M_3=0</math>. Для левой консоли получаем <math>M_0=q_1l_0^2/2</math>.
Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры моментов принято строить на растянутом волокне).
Записываем уравнения трёх моментов:
<math>l_1M_0+2M_1(l_1+l_2)+M_2l_2=-6(\Omega_1a_1/l_1+\Omega_2b_2/l_2),</math>
<math>l_2M_1+2M_2(l_2+l_3)+M_3l_3=-6(\Omega_2a_2/l_2+\Omega_3b_3/l_3).</math>
Здесь <math>\Omega_1=10.8\cdot5/2=27,</math> <math>a_1=(2+5)/3=2.333,</math> <math>\Omega_2=\Omega_3=2fl_2/3=125,</math> <math>a_2=b_2=a_3=b_3=2.5.</math> Решаем систему уравнений <math>M_1=7.301</math> кНм, <math>M_2=-39.325</math> кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4).
Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5).
Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения.
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Книга — С. 179—181.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 217.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 209.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 176.
