Русская Википедия:Уравнения Гамильтона
Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:
- <math>\dot p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j},</math>
- <math>\dot q_j =~~\frac{\partial H}{\partial p_j},</math>
где точкой над <math>p</math> и <math>q</math> обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где <math>H = H(q,p,t) \equiv H(q_1,q_2,...,q_N, p_1,p_2,...,p_N,t)</math> — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, <math>t</math> — время[1], <math>q_i</math> — (обобщенные) координаты <math>(q_1, q_2,\dots,q_N)</math> и <math>p_i</math> — обобщенные импульсы <math>(p_1, p_2, \dots, p_N)</math>, определяющие состояние системы (точку фазового пространства).
Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.
Ньютоновский физический смысл
Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан <math>H</math> представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых <math>T</math> и <math>V</math> соответственно:
- <math> H = T + V ,~ T = \frac{p^2}{2m},~ V = V(q) = V(x). </math>
В частном случае, если <math>q=X</math> — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть
- <math>X_1 = x_1,\; X_2 = y_1,\; X_3 = z_1,\ \ X_4 = x_2,\; X_5 = y_2,\; X_6 = z_2,\;\dots ,</math>
то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:
- <math>\dot{\vec P} = - \nabla V,</math>
- <math>\dot{\vec X} = \vec p / m,</math>
где <math>\vec X = (X_1,X_2,\dots,X_N)</math>, причём каждое подпространство даёт радиус-вектор соответствующей материальной точки:
- <math>\vec r_1 = (X_1,X_2,X_3),\ \vec r_2 = (X_4,X_5,X_6),\;\dots,</math>
а обобщённые импульсы — соответствующие компоненты трёхмерных импульсов этой точки:
- <math>\vec p_1 = (P_1,P_2,P_3),\ \vec p_2 = (P_4,P_5,P_6),\;\dots</math>
Фундаментальная интерпретация
Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) <math>\omega</math> через волновой вектор <math>\mathbf k</math> для каждой точки пространства[2]:
- <math>\omega = H(\mathbf k,\mathbf x).</math>
В классическом приближении (при больших[3] частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от <math>\mathbf x</math>) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых (<math>\dot q_i = \partial H/ \partial p_i</math>) интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие (<math>\dot p_i = - \partial H/ \partial q_i</math>) вполне естественно — как изменение (в частности — поворот) волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.
Вывод уравнений Гамильтона
Вывод из принципа стационарного действия
Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения Гамильтона непосредственно получаются варьированием действия
- <math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt</math>
независимо по <math>q</math> и по <math>p</math>.
Вывод из лагранжевой механики
Мы можем вывести уравнения Гамильтона, используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.
- <math>
\mathrm{d} L = \sum_i \left ( \frac{\partial L}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} \mathrm{d}t </math>
обобщённые импульсы определяются как <math>p_i = \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}}</math>, и уравнения Лагранжа гласят:
- <math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = F_i ,</math>
где <math>F_i</math> — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду
- <math>
\frac{\partial L}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i ,</math> и результат подставляется в вариацию лагранжиана
- <math>
\mathrm{d}L = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t .</math>
Можно записать:
- <math>
\mathrm{d} L = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t </math>
и преобразуется к форме:
- <math>
\mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - L \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t .</math>
Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:
- <math>
\mathrm{d} H = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial H}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t ,</math>
где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.
Обобщение посредством скобок Пуассона
Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими <math>p</math> и <math>q</math>. В этом случае более общая форма уравнений Гамильтона гласит:
- <math>\frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t},</math>
где <math>A</math>, называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных <math>p</math>, <math>q</math> и <math>t</math>, и <math>H</math> — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.
Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для <math>q</math> и <math>p</math>, он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).
Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.
См. также
- Лагранжева механика
- Классическая механика
- Динамические системы
- Уравнение Гамильтона — Якоби
- Симплектическое пространство
- Симплектическое многообразие
Примечания
Литература
- Вилази Г. Гамильтонова динамика. перевод с англ. М.: ИКИ и РХД, 2006. 432с. ISBN 5-93972-444-2
- Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика
- Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
- Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
- Полак Л. С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959
- ↑ От времени функция Гамильтона, вообще говоря, может зависеть явно, хотя во многих фундаментальных случаях такой зависимости как раз нет.
- ↑ Поскольку энергия и импульс и есть частота и волновой вектор, отличаясь от них лишь универсальным постоянным множителем, который может быть выбран и единичным в подходящей системе единиц.
- ↑ Поскольку в связь энергии и частоты, импульса и волнового вектора в обычных системах единиц входит константа Планка, которая в этих обычных системах единиц очень мала, то обычным для классической механики энергиям и импульсам соответствуют очень большие (в соизмерении с обычными для классической механики пространственными и временными масштабами) частоты и волновые векторы.
