Русская Википедия:Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для <math>Z</math> из следующего равенства

<math>e^X e^Y=e^Z</math>

здесь <math>X</math>, <math>Y</math> и <math>Z</math> — элементы алгебры Ли близкие к нулю. Выражение на <math>Z</math> является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от <math>X</math>, <math>Y</math>.

Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике.

Формула

Существует несколько вариантов для записи <math>Z</math>. Если представить <math>Z</math> в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

<math>\begin{align}

Z(X,Y)& =\log(\exp X\exp Y)= \\ &{}= X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] + \frac{1}{12}\left ([X,[X,Y]] +[Y,[Y,X]]\right )- \\ &{}\quad - \frac {1}{24}[Y,[X,[X,Y]]]- \\ &{}\quad - \frac{1}{720}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]] + [X,[X,[X,[X,Y]]]] \right)+ \\ &{}\quad +\frac{1}{360}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]] + [Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\ &{}\quad + \frac{1}{120}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]] + [X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)+\\ &{}\quad+ \cdots \end{align}</math> где "<math>\cdots</math>" содержит слагаемые более высоких порядков.

Наиболее общее выражение для <math>Z</math> дается формулой Дынкина :

<math>Z</math> = <math>\log(\exp X\exp Y) =

\sum_{n = 1}^\infty\frac {(-1)^{n-1}}{n} \sum_{\begin{smallmatrix} r_1 + s_1 > 0 \\ \vdots \\ r_n + s_n > 0 \end{smallmatrix}} \frac{[ X^{r_1} Y^{s_1} X^{r_2} Y^{s_2} \dotsm X^{r_n} Y^{s_n} ]}{(\sum_{j = 1}^n (r_j + s_j)) \cdot \prod_{i = 1}^n r_i! s_i!}, </math> здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям <math>s_i</math> и <math>r_i</math>, и приняты следующие обозначения:

<math> [ X^{r_1} Y^{s_1} \dotsm X^{r_n} Y^{s_n} ] = [ \underbrace{X,[X,\dotsm[X}_{r_1} ,[ \underbrace{Y,[Y,\dotsm[Y}_{s_1} ,\,\dotsm\, [ \underbrace{X,[X,\dotsm[X}_{r_n} ,[ \underbrace{Y,[Y,\dotsm Y}_{s_n} ]]\dotsm]].</math>