Русская Википедия:Формула Лейбница (производной интеграла с параметром)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Шаблон:Значения Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница.

Формулировка

Пусть функция <math>f(x,\;y)</math> непрерывна вместе со своей первой производной <math>{\partial f(x,\;y) \over \partial y}</math> на прямоугольнике <math>[\alpha,\;\beta] \times [c,\;d]</math> (отрезок <math>[\alpha,\;\beta]</math> включает в себя множества значений <math>a(y),\;b(y)</math>, a функции <math>a(y),\;b(y)</math> дифференцируемы на <math>[c,\;d]</math>). Тогда интеграл <math>I(y) = \int\limits_{a(y)}^{b(y)} f(x,\;y) \,dx</math> дифференцируем по <math>y</math> на <math>[c,\;d]</math> и справедливо равенство

<math> \frac{d}{dy} I(y) = \frac{d}{dy} \int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,dx = f\big(b(y),y\big)\cdot \frac{d}{dy} b(y) - f\big(a(y),y\big)\cdot \frac{d}{dy} a(y) + \int_{a(y)}^{b(y)}\frac{\partial}{\partial y} f(x,y) \,dx.</math>

Литература

• Шаблон:Книга