Русская Википедия:Функтор Ext
Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.
Этот функтор естественным образом появляется при изучении расширений модулей. Название происходит от Шаблон:Lang-en — расширение.
Мотивировка: расширения модулей
Эквивалентность расширений
Пусть A — абелева категория. Согласно Шаблон:Нп5, можно считать, что мы работаем с категорией модулей. Расширением объекта Z при помощи объекта X называется короткая точная последовательность вида
- <math>0 \to X \to Y \to Z \to 0</math>.
Два расширения
- <math>0 \to X \to Y \to Z \to 0</math>
- <math>0 \to X \to Y' \to Z \to 0</math>
называются эквивалентными, если существует морфизм <math>g : Y \to Y'</math>, делающий диаграмму
- <math>\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow g && \downarrow \operatorname{id}\\ 0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z & \to & 0 \end{matrix} </math> коммутативной, где <math>\operatorname{id}</math> — тождественный морфизм. Согласно лемме о змее, g является изоморфизмом.
Класс расширений Z при помощи X по модулю этого отношения эквивалентности образует множество, которое обозначают <math>\operatorname{Ext}^1(Z, X)</math> и называют множеством классов расширений Z при помощи X.
Сумма Баера
Если даны два расширения
- <math>0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0</math>
- <math>0\rightarrow B\rightarrow E^\prime\rightarrow A\rightarrow 0</math>
можно построить их сумму Баера, рассмотрев расслоённое произведение над <math>A</math>,
- <math>\Gamma = \left\{ (e, e') \in E \oplus E' \; | \; g(e) = g'(e')\right\}.</math>
Мы рассматриваем фактор
- <math>Y = \Gamma / \{(f(b), 0) - (0, f'(b))\;|\;b \in B\}</math>,
то есть факторизуем по соотношениям <math>(f(b)+e, e') \sim (e, f'(b)+e')</math>. Расширение
- <math>0\rightarrow B\rightarrow Y\rightarrow A\rightarrow 0</math>
где первая стрелка отображает <math>b</math> в <math>[(f(b), 0)] = [(0, f'(b))]</math>, а вторая отображает <math>(e, e')</math> в <math> g(e) = g'(e')</math>, называется суммой Баера расширений E и E'.
С точностью до эквивалентности расширений, сумма Баера коммутативна и тривиальное расширение является нейтральным элементом. Расширение, обратное к 0 → B → E → A → 0 — это то же самое расширение, в котором у одной из стрелок изменён знак, например, морфизм g заменён на -g.
Таким образом, множество расширений с точностью до эквивалентности образует абелеву группу.
Определение
Пусть R — кольцо, рассмотрим категорию R-модулей R-Mod. Зафиксируем объект A категории R-Mod и обозначим через T функтор Hom
- <math>T(B) = \operatorname{Hom}_R(A, B)</math>.
Этот функтор точен слева. Он обладает правыми производными функторами. Функторы Ext определяются следующим образом:
- <math>\operatorname{Ext}_R^n(A, B) = (R^nT)(B)</math>.
В частности, <math>\operatorname{Ext}^0 = \operatorname{Hom}</math>.
Двойственным образом, можно использовать контравариантный функтор Hom<math>G(A) = \operatorname{Hom}_R(A, B)</math> и определить <math>\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nG)(A)</math>. Определённые таким образом функторы Ext изоморфны. Их можно вычислить при помощи инъективной резольвенты B или проективной резольвенты A соответственно.
Свойства
- ExtШаблон:Su(A, B) = 0 при i > 0, если B инъективен или A проективен.
- Обратное утверждение также верно: если ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех A, то ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех A и B инъективен; если ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех B, то ExtШаблон:Su(A, B) = 0 для всех B, и A проективен.
- <math>\operatorname{Ext}^n_R \Bigl(\bigoplus_\alpha A_\alpha,B \Bigr)\cong\prod_\alpha\operatorname{Ext}^n_R(A_\alpha,B)</math>
- <math>\operatorname{Ext}^n_R \Bigl(A,\prod_\beta B_\beta \Bigr)\cong\prod_\beta\operatorname{Ext}^n_R(A,B_\beta)</math>
- <math>\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^n(A, B) = 0</math> при n ≥ 2 для абелевых групп A и B.
- <math>\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}/p, B) = B/p B</math> для абелевой группы B. Это может быть использовано для вычисления <math>\operatorname{Ext}_{\mathbb Z}^1(A, B)</math> для любой конечно порождённой абелевой группы A.
- Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда для любого мультипликативно замкнутого подмножества S, любого модуля B и любого n, <math>S^{-1} \operatorname{Ext}_R^n(A, B) \cong \operatorname{Ext}_{S^{-1} R}^n(S^{-1} A, S^{-1} B) </math>.
- Если R коммутативно и нётерово, и A — конечно порождённый R-модуль, то следующие утверждения эквивалентны для любого модуля B и любого n:
- <math>\operatorname{Ext}_R^n(A, B) = 0.</math>
- Для каждого простого идеала <math>\mathfrak{p}</math> кольца R, <math>\operatorname{Ext}_{R_{\mathfrak p}}^n(A_{\mathfrak p}, B_{\mathfrak p}) = 0</math>.
- Для каждого максимального идеала <math>\mathfrak{m}</math> кольца R, <math>\operatorname{Ext}_{R_{\mathfrak m}}^n(A_{\mathfrak m}, B_{\mathfrak m}) = 0</math>.
Литература
