Русская Википедия:Функции Крылова
Функции Крылова (функции Крылова — Дункана[1]) — система из четырёх функций, представляющих собой общее решение дифференциального уравнения: Шаблон:Нумерованная формула Общее решение уравнения (1) при <math>a\geq 0</math> выражается как линейная комбинация четырёх функций:
- <math>y(x)=C_1\cdot\operatorname{K}_1(\beta x)+C_2\cdot\operatorname{K}_2(\beta x)+C_3\cdot\operatorname{K}_3(\beta x)+C_4\cdot\operatorname{K}_4(\beta x)</math>,
где <math>\beta=\sqrt[4]{a}</math>.
Обычно в качестве функций <math>\operatorname{K}_1(x)</math>, <math>\operatorname{K}_2(x)</math>, <math>\operatorname{K}_3(x)</math>, <math>\operatorname{K}_4(x)</math> используются <math>e^x</math>, <math>e^{-x}</math>, <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math>, но в задачах теории упругости используются функции <math>\operatorname{K}_1(x)</math>, <math>\operatorname{K}_2(x)</math>, <math>\operatorname{K}_3(x)</math>, <math>\operatorname{K}_4(x)</math> специального вида, называемые функциями Крылова в честь математика А. Н. Крылова, который применил эти функции для описания изгиба балки, лежащей на упругом основании[2]. Иногда их обозначают символами <math>\operatorname{S}(x)</math>, <math>\operatorname{T}(x)</math>, <math>\operatorname{U}(x)</math>, <math>\operatorname{V}(x)</math>[3].
Независимо были введены английским учёным У. Дж. Дунканом[4].
Определение
Функции Крылова выражаются следующим образом:[3]
- <math>\operatorname{K}_1(x)=\frac1{2}(\operatorname{ch}x+\cos x)</math>,
- <math>\operatorname{K}_2(x)=\frac1{2}(\operatorname{sh}x+\sin x)</math>,
- <math>\operatorname{K}_3(x)=\frac1{2}(\operatorname{ch}x-\cos x)</math>,
- <math>\operatorname{K}_4(x)=\frac1{2}(\operatorname{sh}x-\sin x)</math>.
Основное свойство функций Крылова в том, что производная от любой из них даёт предыдущую:
- <math>\operatorname{K}_1(x)=\operatorname{K}_2'(x)=\operatorname{K}_3(x)=\operatorname{K}_4'(x)=\operatorname{K}_1^{IV}(x)</math>.
Кроме того выполнены следующие начальные условия: при <math>x=0</math>, первая функция равна 1, а все остальные равны 0:
- <math>\operatorname{K}_1(0)=1</math>, <math>\operatorname{K}_2(0)=\operatorname{K}_3(0)=\operatorname{K}_4(0)=0</math>.
Функции Крылова — Власова
При <math>a<0</math> решение уравнения (1) выражается через функции
- <math>\operatorname{\Phi}_1(x)=\operatorname{ch}x\cdot\cos x</math>,
- <math>\operatorname{\Phi}_2(x)=\operatorname{sh}x\cdot\sin x</math>,
- <math>\operatorname{\Phi}_3(x)=\operatorname{sh}x\cdot\cos x</math>,
- <math>\operatorname{\Phi}_4(x)=\operatorname{ch}x\cdot\sin x</math>,
которые называются функциями Крылова — Власова[5] в честь В.З. Власова. Общим решением уравнения (1) при <math>a<0</math> является линейная комбинация четырёх функций <math>\operatorname{\Phi}_i(\beta x)</math> (при <math>i=1,2,3,4</math>), где <math>\beta=\sqrt[4]{-a/4}</math>.
Чаще при решении задач используются различные комбинации функций Крылова — Власова, которые также называют функциями Крылова:[6][7]
- <math>\operatorname{V}_1(x)=\operatorname{ch} x \cdot\cos x=\operatorname{\Phi}_1(x)</math>,
- <math>\operatorname{V}_2(x)=\frac1{2}\left(\operatorname{ch}x\cdot\sin x+\operatorname{sh}x\cdot\cos x\right)=\frac1{2}\left(\operatorname{\Phi}_4( x)+\operatorname{\Phi}_3( x)\right)</math>,
- <math>\operatorname{V}_3(x)=\frac1{2}\operatorname{sh} x\cdot\sin x=\frac1{2}\operatorname{\Phi}_2( x)</math>,
- <math>\operatorname{V}_4(x)=\frac1{4}\left(\operatorname{ch}x\cdot\sin x-\operatorname{sh} x \cdot\cos x \right)=\frac1{4}\left(\operatorname{\Phi}_4( x)-\operatorname{\Phi}_3( x)\right)</math>.
Основные свойства функций Крылова в этом случае почти сохраняются:
- <math>\operatorname{V}_1(x)=\operatorname{V}_2'(x)=\operatorname{V}_3(x)=\operatorname{V}_4'(x)=-\frac{1}{4}\operatorname{V}_1^{IV}(x)</math>.
- <math>\operatorname{V}_1(0)=1</math>, <math>\operatorname{V}_2(0)=\operatorname{V}_3(0)=\operatorname{V}_4(0)=0</math>.
См. также
Примечания
Литература
- Крылов А. Н. О расчёте балок, лежащих на упругом основании. — Л.: АН СССР, 1931. — 154 с.
