Русская Википедия:Центр масс

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Falseredirect Центр масс (тж. центр ине́рции) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого[1]. Радиус-вектор данной точки задаётся формулой

<math> \vec r_c = \left(\int \rho(\vec r) dV\right)^{-1} \int \rho(\vec r) \vec r dV,</math>

где <math>\rho(\vec r)</math> — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы[2].

В случае систем материальных точек и тел в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Центр масс в классической механике

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образомШаблон:Sfn:

<math> \vec r_c= \frac{\sum \limits_i m_i \vec r_i}{\sum \limits_i m_i},</math>

где <math> \vec r_c </math> — радиус-вектор центра масс, <math> \vec r_i </math> — радиус-вектор Шаблон:Math-й точки системы, <math>m_i </math> — масса Шаблон:Math-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

<math> \vec r_c = {1 \over M} \int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV,</math>
<math> M = \int \limits_V \rho(\vec r) dV,</math>

где <math>M</math> — суммарная масса системы, <math>V</math> — объём, <math>\rho</math> — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами <math>M_i</math>, то радиус-вектор центра масс такой системы <math>R_c</math> связан с радиус-векторами центров масс тел <math>R_{ci}</math> соотношением[3]:

<math> \vec R_c= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}.</math>

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами <math>M_1, M_2, ... M_N.</math> Радиус-вектор <math> \vec R_{c_n} </math> <math>n</math>-ной системы:

<math> \vec R_{c_n}= \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}} {\sum \limits_{i_n} m_{i_n}} = \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}}{M_n},\ n = 1, 2, ... N.</math>
<math> \vec R_{c} = \frac { \sum \limits_{n} \left( \frac{\sum \limits_{i_n} m_{i_n} \vec r_{i_n}}{M_n} \cdot M_n \right)} {\sum \limits_n M_n}= \frac{\sum \limits_i M_i\vec R_{ci}}{\sum \limits_i M_i}.</math>

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Примеры

Центры масс плоских однородных фигур

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

<math>x_s = \frac{V_y}{2\pi S}</math> и <math>y_s = \frac{V_x}{2\pi S}</math>, где <math>V_x, V_y</math> — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, <math>S</math> — площадь фигуры.
Центры масс периметров однородных фигур

Использование

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

<math> \vec r_c= \frac{\sum \limits_i \vec r_i E_i}{\sum \limits_i E_i},</math>

где <math> \vec r_c </math> — радиус-вектор центра масс, <math> \vec r_i </math> — радиус-вектор Шаблон:Math-й частицы системы, <math>E_i </math> — полная энергия Шаблон:Math-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[4].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (Шаблон:Lang-en): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

<math> \vec v_c= \frac{c^2}{\sum \limits_i E_i} \cdot \sum \limits_i \vec p_i.</math>

Смежные понятия

Центр масс vs. барицентр

Файл:Orbit3.gif
Движение космических тел вокруг барицентра.

Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия барицентр (от Шаблон:Lang-grc — тяжёлый + Шаблон:Lang-grc2 — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент двойных звёзд. Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины <math>l</math>, соединяющем тела массами <math>m_1</math> и <math>m_2</math>, на удалении <math>s = m_2l/(m_1+m_2)</math> от тела <math>m_1</math>.

Другое значение слова барицентр относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было <math>\rho=</math> const).

Центр масс vs. центр тяжести

Файл:Центр тяжести.webm
Центр тяжести (в данном случае = центр масс), демонстрация

Шаблон:Значения Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес Шаблон:Math зависит от параметра гравитационного поля Шаблон:Math), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Книга:Физическая энциклопедия
  2. ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
  3. ↑ Шаблон:Книга — С. 68.
  4. ↑ Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Центр_масс&oldid=11280353