Русская Википедия:Цепочка уравнений Боголюбова
Шаблон:Значения Цепочка уравнений Боголюбова (цепочка ББГКИ, иерархия ББГКИ, цепочка уравнений Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) — система уравнений эволюции системы, состоящей из большого числа тождественных взаимодействующих частиц, заключенных в некотором объёме <math>V</math>. Последовательность уравнений ББГКИ выражает эволюцию s-частичной функции распределения через (s+1)-частичную функцию распределения. Названа в честь Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда и fr (Jacques Yvon) (Yvon).
Формулировка
Рассмотрим систему из <math>N</math> частиц с парным взаимодействием, находящуюся во внешнем поле. Пусть <math>\mathbf{q}_i, \mathbf{p}_i</math> — обобщенные координаты и импульсы i-ой частицы, <math>\Phi^{ext}(\mathbf{q}_i)</math> — потенциал взаимодействия с внешнем полем, <math>\Phi_{ij}(\mathbf{q}_i, \mathbf{q}_j)</math> — потенциал (парного) взаимодействия частиц. Функция распределения полной системы <math>f_N = f_N(\mathbf{q}_1\dots\mathbf{q}_N, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_N, t)</math> удовлетворяет уравнению Лиувилля
- <math>
\frac{\partial f_N}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \mathbf{\dot q}_i \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{q}_i} + \sum_{i=1}^N \left( - \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{j=1}^N \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{p}_i} = 0 </math> Рассматриваемая цепочка уравнений получается последовательным интегрированием уравнения Лиувилля по части переменных. В результате уравнение для s-частичной функции распределения <math>f_s = f_s(\mathbf{q}_1\dots\mathbf{q}_s, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_s, t)</math> имеет вид:
- <math>
\frac{\partial f_s}{\partial t} + \sum_{i=1}^s \mathbf{\dot q}_i \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{q}_i} + \sum_{i=1}^s \left( - \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{j=1}^s \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{p}_i} = \sum_{i=1}^s \left( N -s \right) \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i} \int \frac{\partial \Phi_{is+1}}{\partial \mathbf{q}_i} f_{s+1} \,d\mathbf{q}_{s+1} d\mathbf{p}_{s+1} </math>
Применение
Полученная цепочка зацепляющихся уравнений эквивалентна исходному уравнению Лиувилля и тем самым не описывает необратимость. К тому же, сложность её решения совпадает со сложностью решения уравнения Лиувилля. Однако при её обрыве и некоторых дополнительных предположениях симметричность по времени исчезает, как например при получении из цепочки ББГКИ классических[1] и квантовых[2] кинетических уравнений, и в частности, уравнения Больцмана. Подобные упрощения делают иерархию ББГКИ отправной точкой для многих кинетических теорий.
Примечания
Литература
См. также
