Русская Википедия:Частное Ферма
В теории чисел частным Ферма для целого a ≥ 2 по простой базе p называется дробь[1][2][3][4]
- <math>q_p(a) = \frac{a^{p-1}-1}{p}.</math>
Если a взаимно просто с p, то малая теорема Ферма утверждает, что qp(a) будет целым. Частное названо в честь Пьера Ферма.
Свойства
Из определения очевидно, что
- <math>q_p(1) \equiv 0 \pmod{p}</math>
- <math>q_p(-a) \equiv q_p(a) \pmod{p}</math>
В 1850 году Готтхольд Эйзенштейн (Gotthold Eisenstein) доказал, что если a и b оба взаимно просты с p, то:[5]
- <math>q_p(ab)\equiv q_p(a)+q_p(b) \pmod{p}</math>;
- <math>q_p(a^r)\equiv rq_p(a) \pmod{p}</math>;
- <math>q_p(a+p)\equiv q_p(a)-\frac{1}{a} \pmod{p}</math>;
- <math>q_p(p-1)\equiv 1 \pmod{p} </math>;
- <math>q_p(p+1)\equiv -1 \pmod{p}</math>.
Эйзенштейн сравнивал два первых соотношения со свойствами логарифмов.
Из этих свойств вытекает
- <math>q_p(1/a) \equiv -q_p(a) \pmod{p}</math>;
- <math>q_p(a/b) \equiv q_p(a) - q_p(b) \pmod{p}</math>.
В 1895 году Дмитрий Мириманов (Dmitry Mirimanoff) указал на то, что последовательное применение правил Айзенштейна ведет к[6]
- <math>q_p(a+np)\equiv q_p(a)-n\cdot\frac{1}{a} \pmod{p}.</math>
Отсюда следует, что[7]
- <math>q_p(a+np^2)\equiv q_p(a) \pmod{p}.</math>
Специальные случаи
Айзенштейн обнаружил, что частное Ферма по основанию 2 сравнимо по модулю p с суммой обратных величин к числам от 1 до <math>\frac{p-1}2</math>, то есть гармоническому числу <math>H_{\frac{p-1}2}</math>:
- <math>-2q_p(2) \equiv \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \frac{1}{k} \equiv H_{\frac{p-1}2} \pmod{p}.</math>
Более поздние авторы показали, что число элементов в таком представлении может быть уменьшено до с 1/2 до 1/4, 1/5, или даже 1/6:
- <math>-3q_p(2) \equiv \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{p}{4}\rfloor} \frac{1}{k} \pmod{p}.</math>[8]
- <math>4q_p(2) \equiv \sum_{k=\lfloor\frac{p}{10}\rfloor + 1}^{\lfloor\frac{2p}{10}\rfloor} \frac{1}{k} + \sum_{k=\lfloor\frac{3p}{10}\rfloor + 1}^{\lfloor\frac{4p}{10}\rfloor} \frac{1}{k} \pmod{p}.</math>[9]
- <math>2q_p(2) \equiv \sum_{k=\lfloor\frac{p}{6}\rfloor+1}^{\lfloor\frac{p}{3}\rfloor} \frac{1}{k} \pmod{p}.</math>[10][11]
Сложность сравнений Айзенштейна увеличивается с ростом основания частных Ферма, несколько первых примеров:
- <math>-3q_p(3) \equiv 2\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{p}{3}\rfloor} \frac{1}{k} \pmod{p}.</math>[12]
- <math>-5q_p(5) \equiv 4\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{p}{5}\rfloor} \frac{1}{k} + 2\sum_{k=\lfloor\frac{p}{5}\rfloor+1}^{\lfloor\frac{2p}{5}\rfloor} \frac{1}{k} \pmod{p}.</math>[13]
Обобщенные простые Вифериха
Если qp(a) ≡ 0 (mod p), то ap−1 ≡ 1 (mod p2). Простые, для которых это верно для a = 2 называются простыми Вифериха. В более общем случае они называются простыми числами Вифериха по простому основанию a. Известные решения qp(a) ≡ 0 (mod p) для малых a :[2]
a p последовательность OEIS 2 1093, 3511 Шаблон:OEIS2C 3 11, 1006003 Шаблон:OEIS2C 5 2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 Шаблон:OEIS2C 7 5, 491531 Шаблон:OEIS2C 11 71 13 2, 863, 1747591 Шаблон:OEIS2C 17 2, 3, 46021, 48947, 478225523351 Шаблон:OEIS2C 19 3, 7, 13, 43, 137, 63061489 Шаблон:OEIS2C 23 13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 Шаблон:OEIS2C
Наименьшее решение qp(a) ≡ 0 (mod p) с a = n-м простое
- 1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, … Шаблон:OEIS.
Пара (p,r) простых чисел, такая, что qp(r) ≡ 0 (mod p) и qr(p) ≡ 0 (mod r) называется парой Вифериха.
Примечания
Ссылки
- Gottfried Helms. Fermat-/Euler-quotients (ap-1 – 1)/pk with arbitrary k.
- Richard Fischer. Fermat quotients B^(P-1) == 1 (mod P^2).
- ↑ Шаблон:MathWorld
- ↑ 2,0 2,1 Fermat Quotient at The Prime Glossary
- ↑ Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), особенно страницы 152, 159—161.
- ↑ Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.
- ↑ Gotthold Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36—42
- ↑ Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (rp − 1 − 1):p = qr (mod p)," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295—300
- ↑ Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
- ↑ James Whitbread Lee Glaisher, "On the Residues of rp − 1 to Modulus p2, p3, etc.", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1—27.
- ↑ Ladislav Skula, "A note on some relations among special sums of reciprocals modulo p," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5—10.
- ↑ Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.
- ↑ Karl Dilcher and Ladislav Skula, "A New Criterion for the First Case of Fermat's Last Theorem," Mathematics of Computation 64 (1995): 363—392.
- ↑ James Whitbread Lee Glaisher, "A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function," Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900—1901): 27—56, at pp. 49—50.
- ↑ Mathias Lerch, "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471—490.