Шаблон:Другие значения
Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок из n элементов с k циклами.
Определение
Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:
- <math>(x)_{n} = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k,</math>
где <math>(x)_n</math> — символ Похгаммера (убывающий факториал):
- <math>(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).</math>
Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения, называемые числами Стирлинга первого рода без знака, задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами, и обозначаются <math>c(n,k)</math> или <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}</math>:
- <math>c(n,k) = |s(n,k)| = (-1)^{n-k} s(n,k).</math>
Их производящей функцией является возрастающий факториал:
- <math>\sum_{k=0}^n c(n,k) x^k = x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = x^{\bar n} = (x+n-1)_n.</math>
Рекуррентное соотношение
Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:
- <math> s(0, 0) = c(0,0) = 1 </math>,
- <math> s(n, 0) = c(n,0) = 0 </math>, для n > 0,
- <math> s(0, k) = c(0,k) = 0 </math>, для k > 0,
- для чисел со знаком: <math> s(n, k) = s(n-1, k-1) - (n-1) \cdot s(n-1, k) </math> для <math>0 < k < n.</math>
- для чисел без знака: <math> c(n, k) = c(n-1, k-1) + (n-1) \cdot c(n-1, k) </math> для <math>0 < k < n.</math>
Доказательство
|
Для n=1 это равенство проверяется непосредственно. Пусть перестановка (n-1)-го порядка распадается на k циклов. Число n можно добавить после любого числа в соответствующий цикл. Все полученные перестановки различны и содержат k циклов, их количество (n-1)·s(n-1, k). Из любой перестановки (n-1)-го порядка, содержащей k-1 цикл, можно сформировать единственную перестановку n порядка, содержащую k циклов, добавив цикл образованный единственным числом n. Очевидно, что эта конструкция описывает все перестановки n-го порядка, содержащие k циклов. Тем самым равенство доказано.
|
Пример
Первые числа Стирлинга со знаком:
n\k
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
0
|
1
|
|
|
|
|
|
|
1
|
0
|
1
|
|
|
|
|
|
2
|
0
|
−1
|
1
|
|
|
|
|
3
|
0
|
2
|
−3
|
1
|
|
|
|
4
|
0
|
−6
|
11
|
−6
|
1
|
|
|
5
|
0
|
24
|
−50
|
35
|
−10
|
1
|
|
6
|
0
|
−120
|
274
|
−225
|
85
|
−15
|
1
|
См. также
Ссылки
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|