Русская Википедия:Шар
r — радиус шара
Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.
Связанные определения
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².
Основные геометрические формулы
Площадь поверхности <math>S</math> и объём <math>V</math> шара радиуса <math>r</math> (и диаметром <math>d = 2r</math>) определяются формулами:
- <math>S = \ 4\pi r^2</math>
- <math>S = \ \pi d^2</math>
- <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3</math>
- <math>V = \frac{\pi d^3}{6}</math>
Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.
Определения
Пусть дано метрическое пространство <math>(X,\rho)</math>. Тогда
- Шаром (или открытым шаром) с центром в точке <math>x_0\in X</math> и радиусом <math>r>0</math> называется множество
- <math>B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.</math>
- Замкнутым шаром с центром в <math>x_0</math> и радиусом <math>r</math> называется множество
- <math>D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.</math>
Замечания
Шар радиуса <math>r</math> с центром <math>x_0</math> также называют <math>r</math>-окрестностью точки <math>x_0</math>.
Свойства
- Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой <math>\rho</math>.
- Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой <math>\rho</math>.
- По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке <math>X</math> являют собой её базу.
- Очевидно, <math>B_r(x_0) \subset D_r(x_0)</math>. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: <math>\overline{B_r(x_0)} \neq D_r(x_0).</math>
- Например: пусть <math>(X,\rho)</math> — дискретное метрическое пространство, и <math>X</math> состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого <math>x\in X</math> имеем:
- <math>B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.</math>
Объём
Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]
- <math>V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n,</math>
где Шаблон:Math — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:
- <math>V_{2k}(R) = \frac{\pi^k}{k!}R^{2k}</math>,
- <math>V_{2k+1}(R) = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}R^{2k+1} = \frac{2(k!)(4\pi)^k}{(2k+1)!}R^{2k+1}</math>.
Знаком Шаблон:Math здесь обозначен двойной факториал.
Эти формулы также можно свести в одну общую:
- <math>V_n(R) = \frac{2^{ \left[ \frac{n+1}{2} \right] } \pi^{\left[ \frac{n}{2} \right]}}{n!!}R^n</math>.
Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:
- <math>R_n(V) = \frac{\Gamma(n/2 + 1)^{1/n}}{\sqrt{\pi}}V^{1/n}</math>.
Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:
- <math>R_{2k}(V) = \frac{(k!V)^{1/2k}}{\sqrt{\pi}}</math>,
- <math>R_{2k+1}(V) = \left(\frac{(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi^k}\right)^{1/(2k+1)}</math>.
Рекурсия
Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности <math>n-2</math> (при условии, что они имеют одинаковый радиус):
- <math>V_n(R) = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}(R)</math>.
Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:
- <math>V_n(R) = R\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} V_{n-1}(R)</math>.
То же без гамма-функции:
- <math>
\begin{align} V_{2k}(R) &= R\pi \frac{(2k - 1)!!}{2^k k!} V_{2k-1}(R) = R\pi \frac{(2k-1)(2k-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1}{(2k)(2k - 2) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2} V_{2k-1}(R), \\ V_{2k+1}(R) &= 2R\frac{2^k k!}{(2k+1)!!} V_{2k}(R) = 2R\frac{(2k)(2k - 2) \cdots 6 \cdot 4 \cdot 2}{(2k+1)(2k-1) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} V_{2k}(R). \end{align} </math>
Пространства младших размерностей
Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:
| Кол-во измерений | Объём шара радиуса R | Радиус шара объёма V |
|---|---|---|
| 1 | <math>2R</math> | <math>V/2</math> |
| 2 | <math>\pi R^2</math> | <math>\frac{V^{1/2}}{\sqrt{\pi}}</math> |
| 3 | <math>\frac{4\pi}{3} R^3</math> | <math>\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}</math> |
| 4 | <math>\frac{\pi^2}{2} R^4</math> | <math>\frac{(2V)^{1/4}}{\sqrt{\pi}}</math> |
| 5 | <math>\frac{8\pi^2}{15} R^5</math> | <math>\left(\frac{15V}{8\pi^2}\right)^{1/5}</math> |
| 6 | <math>\frac{\pi^3}{6} R^6</math> | <math>\frac{(6V)^{1/6}}{\sqrt{\pi}}</math> |
| 7 | <math>\frac{16\pi^3}{105} R^7</math> | <math>\left(\frac{105V}{16\pi^3}\right)^{1/7}</math> |
| 8 | <math>\frac{\pi^4}{24} R^8</math> | <math>\frac{(24V)^{1/8}}{\sqrt{\pi}}</math> |
| 9 | <math>\frac{32\pi^4}{945} R^9</math> | <math>\left(\frac{945V}{32\pi^4}\right)^{1/9}</math> |
| 10 | <math>\frac{\pi^5}{120} R^{10}</math> | <math>\frac{(120V)^{1/10}}{\sqrt{\pi}}</math> |
Пространства старших размерностей
При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.
Примеры
- Пусть <math>\mathbb{R}^d</math> — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда
- если <math>d=1</math> (пространство — прямая), то
- <math>B_r(x_0) = \{x\in \mathbb R \mid |x - x_0| < r\} = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right),</math>
- <math>D_r(x_0) = \{x\in \mathbb R \mid |x - x_0| \le r\} = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right].</math>
- — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
- если <math>d=2</math> (пространство — плоскость), то
- <math>B_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r \right\},</math>
- <math>D_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \leq r \right\}</math>
- — открытый и замкнутый диск соответственно.
- если <math>d=3</math>, то
- <math>B_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} < r \right\},</math>
- <math>D_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \leq r \right\}</math>
- — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
- В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве <math>\mathbb{R}^d</math> метрику следующим образом:
- <math>\rho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d.</math>
- Тогда
См. также
Примечания
Литература
Ссылки на онлайн калькуляторы
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web
- Шаблон:Cite web Мультфильм про объём шара
- ↑ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.
