Русская Википедия:Шары Данделена
Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.
Описание
Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям <math>C</math> и <math>C'</math> и касающиеся секущей плоскости в точках <math>F</math> и <math>F'</math>. Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.
Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.
Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.
Применение к построению сечений
Если взять произвольную точку <math>P</math> на линии пересечения конуса и плоскости <math>e</math> и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями <math>C</math> и <math>C'</math> в точках <math>Q</math> и <math>Q'</math>, то при перемещении точки <math>P</math>, точки <math>Q</math> и <math>Q'</math> будут перемещаться по окружностям <math>C</math> и <math>C'</math> с сохранением расстояния <math>QQ'</math>.
Так как <math>PQ</math> и <math>PF</math> — отрезки двух касательных к сфере из одной точки <math>P</math>, то <math>PQ=PF</math> и, аналогично, <math>PQ'=PF'</math>.
Таким образом точки на линии пересечения
- имеют постоянную сумму <math>PF+PF'=PQ+PQ'=QQ '</math> и значит, что множество возможных точек <math>P</math> — это есть эллипс, а точки <math>F</math> и <math>F'</math> — его фокусы.
- или имеют постоянную разницу <math>PF-PF'=PQ-PQ'=QQ '</math> и значит, что множество возможных точек <math>P</math> — это есть гипербола, а точки <math>F</math> и <math>F'</math> — её фокусы.
Плоскость <math>e</math> пересекает плоскости, в которых лежат окружности <math>C</math> и <math>C'</math> по прямым, являющимся директрисами конического сечения[1]Шаблон:Rp. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости <math>e</math> отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть <math>P</math> лежит на линии пересечения, <math>c</math> - плоскость окружности <math>C</math>. Пусть плоскости <math>c</math> и <math>e</math> пересекаются по прямой <math>l </math>, <math>PH </math> - перпендикуляр из <math>P</math> на <math>l </math>, <math>PK</math> - перпендикуляр из <math>P</math> на <math>c</math>. Нетрудно заметить, что <math>\frac{PH}{PK}=\sin\alpha</math>, где <math>\alpha</math> — угол между плоскостями <math>c</math> и <math>e</math>. <math>\frac{PK}{PF}=\frac{PK}{PQ}=\frac{1}{\cos \varphi}</math>, где <math>\varphi</math> — угол между осью конуса и его образующей. Перемножив два отношения, получим, что <math>\frac{PH}{PF} = \frac{\sin \alpha}{\cos \varphi}</math>, то есть величина, не зависящая от выбора точки <math>P</math>. Величина <math>\frac{PF}{PH}</math> , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности <math>C'</math>.) В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, <math>\alpha = 90^\circ - \varphi</math>, откуда <math>\frac{PF}{PH} = \frac{\cos \varphi}{\sin \alpha} = 1</math>, то есть <math>PF = PH</math>. Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).
Примечания
Литература
- Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. 3-16).
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Ф. Нилов. Шаблон:YouTube Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г.
Ссылки
