Русская Википедия:Эквивалентность категорий
Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.
Определение
Для двух категорий Шаблон:Math и Шаблон:Math задана их эквивалентность, если задан функтор Шаблон:Math, функтор Шаблон:Math, и два естественных изоморфизма Шаблон:Math и Шаблон:Math. Здесь Шаблон:Math и Шаблон:Math — тождественные функторы на Шаблон:Math и Шаблон:Math соответственно. Если Шаблон:Math и Шаблон:Math — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий.
Эквивалентные формулировки
Можно показать, что функтор Шаблон:Math задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он:
- вполне унивалентен и
- плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента Шаблон:Math категории Шаблон:Math существует объект, имеющий прообраз в Шаблон:Math под действием Шаблон:Math.
Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя приведенное выше свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор Шаблон:Math с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий.
Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: Шаблон:Math и Шаблон:Math задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными.
Примеры
- Между категорией <math>C</math> из одного объекта <math>c</math> и одного морфизма <math>1_{c}</math> и категорией <math>D</math> из двух объектов <math>d_{1}</math>, <math>d_{2}</math> и четырёх морфизмов: двух тождественных <math>1_{d_{1}}</math>, <math>1_{d_{2}}</math> и двух изоморфизма <math>\alpha \colon d_{1} \to d_{2}</math>, <math>\beta \colon d_{2} \to d_{1}</math> можно установить эквивалентность, например взять <math>F</math>, отправляющий <math>c</math> в <math>d_{1}</math> и <math>G</math>, отправляющий всё <math>D</math> в <math>c</math>. Однако, например, категория <math>C</math> не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов.
- Пусть категория <math>C</math> состоит из одного объекта <math>c</math> и двух морфизмов <math>1_{c}, f \colon c \to c</math>, где <math>f \circ f = 1</math>. Тогда <math>f</math> задаёт естественный изоморфизм <math>\mathbf{I}_{C}</math> с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом).
- Эквивалентны категория <math>C</math> конечномерных действительных векторных пространств и категория <math>D = \mathrm{Mat}(\mathbb{R})</math> (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор <math>F \colon C \to D</math> сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса).
- Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами.
Свойства
При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом.
Если Шаблон:Math — эквивалентность категорий и Шаблон:Math, Шаблон:Math «обратные» к Шаблон:Math, то Шаблон:Math и Шаблон:Math естественно изоморфны.
Литература
