Русская Википедия:Экранированное уравнение Пуассона
В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида:
- <math>
\left[ \nabla^2 - \lambda^2 \right] u(\mathbf{r}) = - f(\mathbf{r}), </math>
где <math>{\nabla}^2</math> — оператор Лапласа, <math>\lambda</math> — константа, <math>f</math> — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а <math>u</math> — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и экранировании электрического поля в плазме.
Когда <math>\lambda</math> равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда <math>\lambda</math> очень мала, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией <math>1/r</math> функций, статистически взвешенной функцией источника <math>f</math>:
- <math>
u(\mathbf{r})_{(Poisson)} = \int d^3r' \frac{f(\mathbf{r}')}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}. </math>
С другой стороны, когда <math>\lambda</math> очень велика, <math>u</math> приближается к значению <math>f/\lambda^2</math>, которое в свою очередь приближается к нулю, когда <math>\lambda</math> уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений <math>\lambda</math> ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) <math>1/r</math> функций, причём <math>\lambda</math> будет являться силой экранирования.
Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего <math>f</math> с использованием функции Грина. Функция Грина <math>G</math> определяется как
- <math>
\left[ \nabla^2 - \lambda^2 \right] G(\mathbf{r}) = - \delta^3(\mathbf{r}). </math>
Допустив, что <math>u</math> и её производные пренебрежимо малы на больших <math>r</math>, мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах:
- <math>
G(\mathbf{k}) = \int d^3r \; G(\mathbf{r}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} </math>
где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что
- <math>
\left[ k^2 + \lambda^2 \right] G(\mathbf{k}) = 1. </math>
Следовательно, функция Грина на <math>r</math> даётся обратным преобразованием Фурье:
- <math>
G(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \; \int d^3\!k \; \frac{e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{k^2 + \lambda^2}. </math>
Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в <math>k</math>-пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате <math>k</math>:
- <math>
G(\mathbf{r}) = \frac{1}{2\pi^2 r} \; \int\limits_0^{\infty} dk \; \frac{k \, \sin kr }{k^2 + \lambda^2}. </math>
Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем:
- <math>
G(\mathbf{r}) = \frac{e^{- |\lambda| r}}{4\pi r}. </math>
Итоговое решение всей задачи:
- <math>
u(\mathbf{r}) = \int d^3r' G(\mathbf{r} - \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') = \int d^3r' \frac{e^{- |\lambda| |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} f(\mathbf{r}'). </math>
Как было указано выше, это суперпозиция экранированных <math>1/r</math> функций, статистически взвешенных функцией источника <math>f</math>, причём <math>\lambda</math> является коэффициентом экранирования. Экранированная <math>1/r</math> функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».
См. также
Шаблон:Rq Шаблон:Математическая физика
