Русская Википедия:Экспоненциальная запись
Экспоненциа́льная за́пись в информатике и вычислительной математике — представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. Удобна для представления очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.
<math>N = M \cdot n^p</math>, где
- N — записываемое число;
- M — мантисса;
- n — основание показательной функции;
- p (целое) — порядок;
- <math>n^p</math> — характеристика числа.
Примеры:
1 000 000 (один миллион): <math>1{,}0 \cdot 10^6</math>; N = 1 000 000, M = 1,0, n = 10, p = 6.
1 201 000 (один миллион двести одна тысяча): <math>1{,}201 \cdot 10^6</math>; N = 1 201 000, M = 1,201, n = 10, p = 6.
−1 246 145 000 (минус один миллиард двести сорок шесть миллионов сто сорок пять тысяч): <math>-1{,}246145 \cdot 10^9</math>; N = −1 246 145 000, M = −1,246145, n = 10, p = 9.
0,000001 (одна миллионная):<math>1{,}0 \cdot 10^{-6}</math>; N = 0,000001, M = 1,0, n = 10, p = −6.
0,000000231 (двести тридцать одна миллиардная):<math>231 \cdot 10^{-9} = 2{,}31 \cdot 100 \cdot 10^{-9} = 2{,}31 \cdot 10^2 \cdot 10^{-9} = 2{,}31 \cdot 10^{-9 + 2} = 2{,}31 \cdot 10^{-7} </math>; N = 0,000000231, M = 2,31, n = 10, p = −7.
В логарифмических таблицах значения десятичных логарифмов чисел и функций также представлены мантиссами (порядок логарифма вычисляется без труда)[1].
Нормализованная запись
Любое данное число может быть записано в виде <math>M\cdot 10^p</math> многими путями; например 350 может быть записано как <math>3{,}5\cdot 10^2</math> или <math>35\cdot 10^1</math>.
В нормализованной научной записи порядок <math>p</math> выбирается такой, чтобы абсолютная величина <math>M</math> оставалась не меньше единицы, но строго меньше десяти (<math>1\leq|M|<10</math>). Например, 350 записывается как <math>3{,}5\cdot 10^2</math>. Этот вид записи, называемый также стандартным видом, позволяет легко сравнивать два числа. Кроме того, он удобен для десятичного логарифмирования: целая часть логарифма, записанного «в искусственной форме», равна порядку числа, дробная часть логарифма определяется из таблицы только по мантиссе, что было крайне важным до массового распространения калькуляторов в 1970-х годах.
В некоторых калькуляторах как опция может быть использована запись с мантиссой <math>1\leq|a|<1000</math> и с порядком, кратным 3, так, например, <math>3{,}52\cdot 10^{-8}</math> записывается как <math>35{,}2\cdot 10^{-9}</math>. Такая запись проста для чтения (<math>640\cdot 10^{6}</math> легче прочесть, как «640 миллионов», чем <math>6{,}4\cdot 10^{8}</math>) и удобна для выражения физических величин в единицах измерения с десятичными приставками: кило-, микро-, тера- и так далее.
Экспоненциальная запись числа в компьютере
Представление чисел в приложениях
Основная масса прикладных программ для компьютера обеспечивает представление чисел в удобной для восприятия человеком форме, т.е. в десятичной системе счисления.
На компьютере (в частности в языках программирования высокого уровня) числа в экспоненциальном формате (его ещё называют научным) принято записывать в виде MEp, где:
M — мантисса,
E — экспонента (от англ. «exponent»), означающая «·10^» («…умножить на десять в степени…»),
p — порядок.
Например:
<math>\text{1,602176565E-19} = 1{,}602176565\cdot 10^{-19}</math> (элементарный заряд в Кл);
<math>\text{1,380650424E-23} = 1{,}380650424\cdot10^{-23}</math> (Постоянная Больцмана в Дж/К);
<math>\text{6,02214129E23} = 6{,}02214129\cdot10^{23}</math> (число Авогадро).
В программировании часто используют символ «+» для неотрицательного порядка и ведущие нули, а в качестве десятичного разделителя — точку:
<math>\text{1.048576E+06} = 1\,048\,576; ~\text{3.14E+00} = 3,14</math>.
Для улучшения читаемости иногда используют строчную букву e: <math>\text{6,02214129e23}</math>
en (GOST 10859) вводил специальный символ для экспоненциальной записи числа "⏨", представляющий собой число 10, написанное мелким шрифтом на уровне строки. Такая запись должна была использоваться в АЛГОЛе. Этот символ включён в Unicode 5.2 с кодом U+23E8 "Decimal Exponent Symbol"[2]. Таким образом, например, современное значение скорости света могло быть записано как 2.99792458⏨+08 м/с.
Внутренний формат представления чисел
Внутренний формат представления вещественных чисел в компьютере тоже является экспоненциальным, но основанием степени выбрано число 2 вместо 10. Это связано с тем, что все данные в компьютере представлены в двоичной форме (битами). Под число отводится определённое количество компьютерной памяти (часто это 4 или 8 байт). Там содержится следующая информация:
- Знаковый бит (он обычно занимает старшее место), который указывает знак числа. Установленный бит говорит о том, что число отрицательное (исключение может составлять число ноль — иногда он тоже может иметь установленный знаковый бит).
- Порядок — целое число, которое задаёт нужную степень двойки. Обычно это не истинная величина порядка, а сдвинутая на некоторую константу таким образом, чтобы число было неотрицательным. Так, наименьший возможный порядок (он отрицательный) представлен числом 0.
- Мантисса (обычно за исключением старшего бита, который всегда установлен в нормализованном числе).
Более подробно форматы представления чисел описаны стандартом IEEE 754-2008.
Следует заметить, что представление вещественных чисел по стандарту IEEE 754 появилось относительно недавно, и на практике можно встретить и другие форматы. Например, в IBM System/360 (1964 г., советский аналог – ЕС ЭВМ) основание системы счисления для вещественных чисел было равно 16, а не 2, и для сохранения совместимости эти форматы поддерживаются во всех последующих мэйнфреймах IBM, включая выпускаемые по сей день машины архитектуры z/Architecture (в последних поддерживаются также десятичные и двоичные вещественные числа).
Примечания
Ссылки
