Русская Википедия:Электрическая ёмкость

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Электродинамика Шаблон:Физическая величина Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности аккумулировать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы (конденсатора), представленного в виде двухполюсника.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, общепринятое обозначение ёмкости: <math>C</math>.

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками

<math>C = \frac{Q}{\varphi - \varphi_{ref}}</math>,

где <math>Q</math> — заряд, <math>\varphi</math> — потенциал проводника, <math>\varphi_{ref}</math> — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости).

Определение. Некоторые формулы

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

<math>C = \frac{Q}{\varphi}</math>,

где <math>Q</math> — заряд, <math>\varphi</math> — потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса <math>R</math> равна (в системе СИ):

<math>C = 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r R,</math>

где <math>\varepsilon_0</math> — электрическая постоянная (8,854Шаблон:E Ф/м), <math>\varepsilon_r</math> — относительная диэлектрическая проницаемость.

Шаблон:Hider

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами <math>\pm Q</math>, ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула <math>C = Q/\varphi</math> останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором. Два проводника при этом именуются обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

<math>C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac S d</math>,

где <math>S</math> — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), <math>d</math> — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

<math> W = \frac{CU^2}{2}</math>,

где <math>U</math> — напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измерения

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой <math>C</math> (от Шаблон:Lang-la — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах, сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон. Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика М. Фарадея.

Единицей измерения ёмкости в системе СГС является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкости

• Ёмкость всегда положительна, за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками.
• Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
• Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды <math>\varepsilon_r</math> от соответствующих величин).
• В случае среды с постоянными значениями <math>\varepsilon_r</math> ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда <math>\varepsilon_r</math> зависит от напряжённости электрического поля, ёмкость будет изменяться с напряжением.
• Применительно к цепи синусоидального тока с частотой <math>\omega</math>, элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление <math>X_C =\omega^{-1}C^{-1}</math>.
• Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком.

Дифференциальная ёмкость

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

<math>C_{diff} = \frac{dQ}{d\varphi} \approx \frac{\Delta Q}{\Delta\varphi}</math>,

которая определяется для выбранных условий <math>\varphi = \varphi_0</math>. Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то <math>C_{diff} = C</math>, но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей <math>C_{diff}(\varphi)</math> при разных частотах <math>\omega</math> изменения потенциала со временем <math>t</math> по закону <math>\varphi = \varphi_0 + \Delta\varphi\,\sin(\omega t)</math>. Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇²φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	<math> \frac {\varepsilon S} {4\pi d} </math>	S: Площадь d: Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	<math>\frac{\varepsilon l}{\log\left( R_{2}/R_{1}\right)}</math>	l : Длина R1: Радиус R<math>_2</math>: Радиус
Две параллельные проволоки	<math>\frac{\varepsilon l}{4\operatorname{arcosh}\left( \frac{d}{2a}\right) }=\frac{ \varepsilon l}{2\log \left( \frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{4a^{2}}-1}\right) }</math>	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене	<math>\frac{\varepsilon l}{2\operatorname{arcosh}\left(\frac{d}{a}\right) }=\frac{\varepsilon l}{4\log\left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^{2}}{a^{2}}-1}\right) }</math>	a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина
Две параллельные копланарные полосы	<math>\varepsilon l \frac{ K\left( \sqrt{1-k^{2}} \right) }{4\pi K\left(k \right) }</math>	d: Расстояние w1, w<math>_2</math>: Ширина полос km: d/(2wm+d) k2: k1k2 K: Эллиптический интеграл l: Длина
Два концентрических шара	<math> \frac{ \varepsilon}{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}} </math>	R1: Радиус R2: Радиус
Два шара одинакового радиуса	<math>\frac{\varepsilon a}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh\left(\log\left( D+\sqrt{D^2-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\log\left( D+\sqrt{ D^2-1}\right) \right)}</math> <math>\frac{\varepsilon a}{2}\left\{ 1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^{3}}+\frac{1}{8D^{4}}+\frac{3}{32D^{5}}+O\left( \frac{1}{D^{6}}\right) \right\}</math> <math>=\frac{\varepsilon a}{2}\left\{\log 2+\gamma -\frac{1}{2}\log\left( \frac{d}{a}-2\right) +O\left( \frac{d}{a}-2\right) \right\}</math>	a : Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены	<math>\varepsilon a\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sinh \left( \ln \left( 2D+\sqrt{D^{2}-1}\right) \right) }{\sinh \left( n\ln \left( 2D+\sqrt{ D^{2}-1}\right) \right) } </math>	a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a
Шар	<math> \varepsilon a </math>	a: Радиус
Круглый диск	<math> \frac{2 \varepsilon a}{\pi} </math>	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина	<math> \frac{ \varepsilon l}{2\Lambda }\left\{ 1+\frac{1}{\Lambda }\left( 1-\ln 2\right) +\frac{1}{\Lambda ^{2}}\left[ 1+\left( 1-\ln 2\right) ^{2}-\frac{\pi ^{2}}{12}\right] +O\left(\frac{1}{\Lambda ^{3}}\right) \right\} </math>	a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a)

Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИШаблон:Sfn.

См. также

• Квантовая ёмкость

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга