Русская Википедия:Эллиптическая модульная лямбда-функция

В математике эллиптическая модульная лямбда-функция является неэлементарной голоморфной функцией на верхней полуплоскости комплексных чисел. Эта функция является неизменной относительно конгруэнтной подгруппы Γ(2). Она описывается как главный модуль (по-немецки Hauptmodul) модулярной кривой X(2).

Определение

Функция определяется как четвертая степень частного тета-функций Карла Густава Якоба Якоби:

<math>\lambda(\tau) = \frac{\theta_2^4(0,\tau)}{\theta_3^4(0,\tau)} = \frac{\vartheta_2^4[0;\exp(i\pi\tau)]}{\vartheta_3^4[0;\exp(i\pi\tau)]}</math>

Важная дополнительная информация:

<math>\theta_2(0,\tau) = \vartheta_2[0;\exp(i\pi\tau)] = \sum_{k=-\infty}^\infty \exp\bigl[i\pi\tau\bigl(k+\frac{1}{2}\bigr)^2\bigr]</math>

<math>\theta_3(0,\tau) = \vartheta_3[0;\exp(i\pi\tau)] = \sum_{k=-\infty}^\infty \exp(i\pi\tau k^2)</math>

Свойства

Конгруэнтная подгруппа Γ(2) эллиптической лямбда-функции имеет следующую структуру:

<math>\Gamma(2) = \biggl\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in \operatorname{SL}_{2}(\Z)|\,a\equiv d\equiv 1(\operatorname{mod}2);\,b\equiv c\equiv 0(\operatorname{mod}2)\biggr\} = \biggl\langle\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\biggr\rangle</math>

Фундаментальная область имеет следующий образец:

<math>\operatorname{F}_{\lambda} = \biggl\{\tau:\tau\in\mathbb H\,\land\,\biggl[\biggl[\operatorname{Re}(\tau)\in(-1,1)\,\land\,\operatorname{min}\biggl(\biggl|\tau-\frac{1}{2}\biggr|;\biggl|z+\frac{1}{2}\biggr|\biggr)>\frac{1}{2}\biggr]\,\lor\,\operatorname{Re}(\tau) = -1\,\lor\,\biggl|\tau+\frac{1}{2}\biggr| = \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}</math>

Верхняя полуплоскость комплексных чисел имеет следующую классификацию:

<math>\mathbb H = \biggl\{\gamma\,\bigcirc\tau:\tau\in\operatorname{F}_{\lambda}\,\land\,\gamma\in\operatorname{SL}_{2}(\mathbb Z)\,\land\,\gamma\equiv\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\,\operatorname{mod}(2)\biggr\}</math>

Модульные превращения

Действительны следующие функциональные уравнения:

<math>\lambda\bigl(-\frac{1}{\tau}\bigr) = 1 - \lambda(\tau)</math>

<math>\lambda\bigl(-\frac{\tau}{1-\tau}\bigr) = \frac{1}{\lambda(\tau)}</math>

<math>\lambda\bigl(\tau+1\bigr) = \frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}</math>

Существует следующая инвариантность голоморфной лямбда-функции:

<math>\tau \longmapsto \tau + 2; \tau \longmapsto \frac{\tau}{1-2\tau}</math>

Эллиптический модуль

Функция лямбда-звезда λ*(x) дает эллиптический модуль, так что частное от полного эллиптического интеграла первого рода пифагорова комплементарного элемента, деленного на полный эллиптический интеграл первого рода от самого модуля, равно квадратному корню из x.

<math>K[\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}]/K[\lambda^*(x)] = \sqrt{x}</math>

Значения эллиптической модульной функции лямбда-звезда можно вычислить следующим образом:

<math>\lambda^*(x) = \frac{\vartheta_2[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^2}{\vartheta_3[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]^2} </math>

<math>\lambda^*(x) = \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty\exp\biggl[-\bigl(a+\frac{1}{2}\bigr)^2\pi\sqrt{x}\biggr]\biggr\}^2\biggl[\sum_{a=-\infty}^\infty\exp(-a^2\pi\sqrt{x})\biggr]^{-2} </math>

<math>\lambda^*(x) = \biggl\{\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}\biggl[\bigl(a+\frac{1}{2}\bigr)\pi\sqrt{x}\biggr]\biggr\}\biggl[\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}(a\pi\sqrt{x})\biggr]^{-1} </math>

Частные значения

Эллиптические формулы

Лямбда-звезда положительных рациональных чисел всегда являются положительными алгебраическими числами.

<math>\lambda^*(x \in \mathbb{Q}^+) \in \mathbb{A}^+ </math>

Следующее уравнение действительно для всех натуральных чисел n ∈ ℕ:

<math>\sqrt{n} = \sum_{a = 1}^{n} \operatorname{dn}\biggl\{\frac{2a}{n}K\biggl[\lambda^*\bigl(\frac{1}{n}\bigr)\biggr];\lambda^*\bigl(\frac{1}{n}\bigr)\biggr\} </math>

Эллиптические функции Якоби выражаются сокращениями sn, cn и dn.

<math>\lambda^*(n^2 x) = \lambda^*(x)^n\prod_{a=1}^{n}\operatorname{sn}\left\{\frac{2a-1}{n}K[\lambda^*(x)];\lambda^*(x)\right\}^2</math>

Число x должно быть положительным числом, а n должно быть натуральным числом.

Алгебраические отношения

Эти симметричные алгебраические отношения существуют:

<math>\lambda^*(x)^2 + \lambda^*(1/x)^2 = 1</math>

<math>\lambda^*(4x) = \frac{1-\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}}{1+\sqrt{1-\lambda^*(x)^2}} = \tan\{\arcsin[\lambda^*(x)]/2\}^2</math>

<math>\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda^*(4/x)]\} = 1</math>

<math>\lambda^*(x)\lambda^*(4/x)+\lambda^*(x)+\lambda^*(4/x) = 1</math>

<math>\lambda^*(x) - \lambda^*(9x) = 2\lambda^*(x)^{1/4}\lambda^*(9x)^{1/4} - 2\lambda^*(x)^{3/4}\lambda^*(9x)^{3/4}</math>

<math>\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\} - \tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\} =</math>

<math>= 2\sqrt{2}\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\}^{1/4} + 2\sqrt{2}\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda^*(9x)]\}^{3/4}</math>

<math>\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/2} - \tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{1/2} =</math>

<math>= 2\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{1/12} + 2\tan\{2\arctan[\lambda^*(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda^*(25x)]\}^{5/12}</math>

Точные значения

Важные константы, используемые в следующих:

имя константы	алгебраическое выражение	уравнение
Золотое сечение	<math> \Phi = \tfrac{1}{2}(\sqrt{5}+1) </math>	<math> \Phi^2 - \Phi - 1 = 0 </math>
Серебряное сечение	<math> \delta_S = \sqrt{2}+1 </math>	<math> \delta_S^2 - 2\delta_S - 1 = 0 </math>
Бронзовое сечение	<math> \delta_B = \tfrac{1}{2}(\sqrt{13}+3) </math>	<math> \delta_B^2 - 3\delta_B - 1 = 0 </math>
Постоянная трибоначчи	<math> T_{TRI} = \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}} + \tfrac{1}{3}\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \tfrac{1}{3} </math>	<math> T_{TRI}^3 - T_{TRI}^2 - T_{TRI} - 1 = 0 </math>
Пластическое число	<math> \rho = \tfrac{1}{6}\sqrt[3]{12}(\sqrt[3]{9+\sqrt{69}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{69}}) </math>	<math> \rho^3 - \rho - 1 = 0 </math>
Сверхзолотое сечение	<math> \psi = \tfrac{1}{6}\sqrt[3]{116+12\sqrt{93}} + \tfrac{1}{6}\sqrt[3]{116-12\sqrt{93}} + \tfrac{1}{3} </math>	<math> \psi^3 - \psi^2 - 1 = 0 </math>

Первые десять значений:

<math>\lambda^*(1) = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}</math>

<math>\lambda^*(2) = \sqrt{2} - 1 = \delta_{S}^{-1}</math>

<math>\lambda^*(3) = \tfrac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math>

<math>\lambda^*(4) = (\sqrt{2} - 1)^2 = \delta_{S}^{-2}</math>

<math>\lambda^*(5) = \tfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{5}-1} - \tfrac{1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}} = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}(\Phi^{-1/2} - \Phi^{-1})</math>

<math>\lambda^*(6) = (2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})</math>

<math>\lambda^*(7) = \tfrac{1}{8}\sqrt{2}(3-\sqrt{7})</math>

<math>\lambda^*(8) = (\sqrt{2}+1-\sqrt{2\sqrt{2}+2})^2 = (\delta_{S}-\sqrt{2\delta_{S}})^2</math>

<math>\lambda^*(9) = \tfrac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3})</math>

<math>\lambda^*(10) = (\sqrt{10}-3)(\sqrt{2}-1)^2</math>

Дальнейшие значения нечетных чисел:

<math>\lambda^*(11) = \tfrac{1}{16}\sqrt{2}(\sqrt{11}+3)(\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}+2\sqrt{11}}-\tfrac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}-2\sqrt{11}}+\tfrac{1}{3}\sqrt{11}-1)^4 = \tfrac{1}{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{2}T_{TRI}^{-4}} - \tfrac{1}{2}\sqrt{1-\tfrac{1}{2}T_{TRI}^{-4}}</math>

<math>\lambda^*(13) = \tfrac{1}{2}\sqrt{5\sqrt{13}-17} - \tfrac{1}{2}\sqrt{19-5\sqrt{13}} = \tfrac{1}{2}\sqrt{1+\delta_{B}^{-3}} - \tfrac{1}{2}\sqrt{1-\delta_{B}^{-3}}</math>

<math>\lambda^*(15) = \tfrac{1}{16}\sqrt{2}(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})</math>

<math>\lambda^*(17) = \tfrac{1}{16}\sqrt{2}(\sqrt{3\sqrt{17}+11}-\sqrt{5+\sqrt{17}}-\sqrt[4]{4\sqrt{17}+16}+\sqrt[4]{4\sqrt{17}-16})^2</math>

<math>\lambda^*(19) = \tfrac{1}{16}\sqrt{2}(3\sqrt{19}+13)[\tfrac{1}{6}(\sqrt{19}-2+\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{19}}-\tfrac{1}{6}(\sqrt{19}-2-\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{19}}-\tfrac{1}{3}(5-\sqrt{19})]^4</math>

<math>\lambda^*(21) = \tfrac{1}{8}(\sqrt{14}-\sqrt{6})[(\sqrt{3}+1)\sqrt{2\sqrt{7}-4}-4+\sqrt{7}-\sqrt{3}]</math>

<math>\lambda^*(23) = \tfrac{1}{32}\sqrt{2}(5+\sqrt{23})[\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{100-12\sqrt{69}}-\tfrac{1}{6}(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}]^4 = \tfrac{1}{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{8}\rho^{-12}} - \tfrac{1}{2}\sqrt{1-\tfrac{1}{8}\rho^{-12}}</math>

<math>\lambda^*(25) = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)(3-2\sqrt[4]{5})</math>

<math>\lambda^*(31) = \tfrac{1}{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{8}\psi^{-12}} - \tfrac{1}{2}\sqrt{1-\tfrac{1}{8}\psi^{-12}}</math>

<math>\lambda^*(37) = \tfrac{1}{2}\sqrt{1+(\sqrt{37}-6)^3} - \tfrac{1}{2}\sqrt{1-(\sqrt{37}-6)^3}</math>

Литература

Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 281, Springer-Verlag, pp. 108–121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
Conway, J. H. and Norton, S. P. "Monstrous Moonshine." Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.
Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Elliptic Modular Function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Эллиптическая модульная лямбда-функция

Содержание

Определение

Свойства

Модульные превращения

Эллиптический модуль

Частные значения

Эллиптические формулы

Алгебраические отношения

Точные значения

Литература

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты