Русская Википедия:Эффективная процентная ставка
Эффективная процентная ставка (ЭПС, EIR, Effective Interest Rate) — процентная ставка, получаемая в результате капитализации процентов по финансовому инструменту за весь период инвестирования, в течение которого выплаты не производятся. Эффективная процентная ставка может определяться за любой временной интервал, но обычно подразумевается годовая эффективная процентная ставка.
ЭПС — это ставка сложных процентов, учитывающая временную ценность денег, позволяющая сопоставлять различные денежные потоки, инструменты, активы, обязательства, проекты между собой.
В различных ситуациях могут применяться разные наименования. Для облигаций применяется понятие доходность к погашению (YTM), для инвестиционных проектов — внутренняя норма доходности (ВНД, IRR, Internal Rate of Return).
Метод ЭПС является основным методом оценки финансовых активов и обязательств в МСФО (см. IFRS 9) при их учёте по амортизированной стоимости. На момент первоначального признания инструмент отражается по справедливой стоимости и исходя из нее определяется ЭПС. В дальнейшем стоимость инструмента определяется как дисконтированная по этой первоначальной ЭПС стоимость денежного потока от инструмента, ожидаемого после текущего момента
Формализованное описание
Общее определение
В соответствии с определением, ЭПС по финансовому инструменту со стоимостью S (на данный момент времени) в общем случае определяется как решение относительно r уравнения
<math>S=\sum_{i=1}^{n}\frac {CF_{t_i}}{(1+r)^{t_i}}</math>
где <math> CF_{t_i} </math> — платеж по инструменту в момент времени <math> t_i </math> (время отсчитывается от текущего момента в единицах измерения r).
Если ЭПС определена за некоторый базовый период, то для определения ЭПС за период T, содержащий m базовых периодов (m не обязательно целое число) в вышеприведенном уравнении в степенях дисконтирующих множителей время необходимо также перевести в новые единицы, соответственно вместо <math>t_i</math> нужно использовать <math>t_i/m</math>. Это эквивалентно тому, что вместо <math>1+r</math> использовать <math>(1+R)^{1/m}</math>, следовательно имеем начисление сложных процентов, то есть
<math>R=(1+r)^{m}-1</math>
ЭПС процентного инструмента с полным гашением первоначальной суммы в течение (или в конце) срока
Пусть по инструменту выполнены одновременно следующие условия:
- 1) платежи по финансовому инструменту представляют собой исключительно платежи в счет погашения основного долга и проценты на его оставшуюся часть;
- 2) платежи осуществляются через фиксированный промежуток времени (далее — базовый период);
- 3) номинальная процентная ставка по договору является неизменной на протяжении срока договора (обозначим ее q — для ставки за базовый период) и она используется для расчета процентной составляющей платежей: проценты за данный базовый период равны произведению q на остаток основного долга на начало базового периода;
- 4) в течение срока договора первоначальная сумма долга полностью погашается (конкретный график погашения долга не имеет значения, долг целиком может погашаться и в самом конце срока и в течение срока).
Можно показать, что при выполнении этих условий эффективная процентная ставка за базовый период равна номинальной процентной ставке за этот же период: <math>r=q</math>. При этом ЭПС за иной период не равен номинальной ставке за этот же период, а должен пересчитываться по формуле сложных процентов. Например, ЭПС за m базовых периодов будет равна: <math>R_m=(1+q)^m</math>, что не совпадает с номинальной ставкой за этот период: <math>Q=qm</math>
Шаблон:Hider</math>
При этом платежи состоят из платежей в счет погашения основного долга и процентов на его оставшуюся часть:
- <math>CF_t=- \Delta {S_t}+I_t=S_{t-1}-S_t+qS_{t-1}=(1+q)S_{t-1}-S_t</math>
Тогда уравнение для нахождения ЭПС будет иметь вид:
- <math>S_0=\sum^n_{t=1}\frac {(1+q)S_{t-1}-S_t}{(1+r)^t}=\sum^n_{t=1}\frac {(1+q)S_{t-1}}{(1+r)^t}-\sum^n_{t=1}\frac {S_t} {(1+r)^t}=\frac {1+q}{1+r}\sum^n_{t=1}\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}-\sum^n_{t=1}\frac {S_t} {(1+r)^t}</math>
Обозначим для удобства <math> k=\frac {1+q}{1+r}</math> и с учетом того, что <math> \sum^n_{t=1}\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}=\sum^n_{t=1}\frac {S_t}{(1+r)^{t}}-\frac {S_n}{(1+r)^n}+S_0</math> и того, что <math>S_n=0</math> (в конце срока инструмент должен быть погашен), уравнение для ЭПС примет вид:
- <math>S_0=k (\sum^n_{t=1}\frac {S_t}{(1+r)^t}+S_0)-\sum^n_{t=1}\frac {S_t} {(1+r)^t}</math>
Отсюда получим равенство
- <math>(1-k)S_0=-(1-k)\sum^n_{t=1}\frac {S_t} {(1+r)^t}</math>
Если <math>k<>1</math> то это выражение приводит к невозможному равенству : <math>S_0=-\sum^n_{t=1}\frac {S_t} {(1+r)^t}</math> поскольку левая часть и правая часть равенства ненулевые и имеют противоположные знаки. Поэтому единственным следствием этого является то, что <math>k=1</math>. Это означает, что <math>q=r</math>, то есть номинальная и эффективная ставка за базовый период равны друг другу, что и требовалось доказать.
|frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); | title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; | hidden=1
}}
Таким образом, в случае таких инструментов, ЭПС можно определить не путем решения уравнений, а по формуле непосредственно исходя из номинальной ставки по договору и частоты платежей. Если номинальная годовая ставка равна Q, а платежи осуществляются через равные периоды продолжительностью t дней, то количество базовых периодов в год равно m=365/t и годовая эффективная процентная ставка будет равна
<math>R=(1+Q/m)^m-1</math>
Примерами таких процентных инструментов являются все стандартные кредиты и депозиты, если только нет по ним дополнительных доходов или расходов, учитываемых при расчете ЭПС. При этом график платежей не имеет значения (аннуитетный, дифференцированный, в конце срока и т. д.), важно только одинаковость периодов осуществления платежей (или капитализации процентов), отсутствие иных денежных потоков кроме погашения основного долга и процентов на его остаток.
Однако, необходимо отметить, что если проценты начисляются, например, ежемесячно, по точному количеству дней в месяце, то формально месяцы имеют не одинаковую продолжительность, поэтому вышеуказанные условия выполняются не совсем точно и, соответственно, вышеприведенная формула не является точной. Однако, ошибка, связанная с этим обычно не является существенной и на практике во многих случаях этим можно пренебречь.
Простейший частный случай: процентный инструмент с гашением долга в конце срока
В наиболее простом случае, когда имеется инструмент (например, кредит или облигация) со стоимостью S (сумма кредита, номинал), которая погашается ровно в той же сумме в конце срока, на которую начисляются проценты по ставке q за фиксированный базовый период (купонный период) в течение всего срока инструмента, можно непосредственно показать, что ЭПС за базовый период равен номинальной ставке за этот период. В самом деле уравнение для годовой ЭПС за этот базовый период имеет вид
<math>S=\sum_{i=1}^{n}\frac {q*S}{(1+r)^{i}}+\frac {S}{(1+r)^{n}}=qS \frac {1-(1+r)^{-n}}{r}+S(1+r)^{-n} </math>
Отсюда
<math>S (1-(1+r)^{-n})=qS \frac {1-(1+r)^{-n}}{r} </math>
Сократив левую и правую часть на <math>S (1-(1+r)^{-n}) </math> получим, что q=r, то есть ЭПС за базовый период и номинальная ставка за этот же период равны друг другу.
Отметим, что для такой же облигации, приобретенной не по номиналу, а по некоторой иной рыночной цене, вышеуказанное утверждение о равенстве ЭПС и номинальной ставки за базовый период, уже неверно, поскольку в течение периода погашается сумма, отличная от первоначальной.
См. также
