Русская Википедия:P-адическое число
Шаблон:Mvar-адическое число[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа Шаблон:Mvar как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно Шаблон:Mvar-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на Шаблон:Mvar.
Шаблон:Mvar-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году[2].
Поле Шаблон:Mvar-адических чисел обычно обозначается <math>\mathbb Q_p</math> или <math>\mathbf Q_p</math>.
Алгебраическое построение
Целые Шаблон:Mvar-адические числа
Стандартное определение
Целым Шаблон:Mvar-адическим числом для заданного простого Шаблон:Mvar называетсяШаблон:Sfn бесконечная последовательность <math>x=\{x_1,x_2,\ldots\}</math> вычетов <math>x_n</math> по модулю <math>p^{n}</math>, удовлетворяющих условию:
- <math>x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.</math>
Сложение и умножение целых Шаблон:Mvar-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых Шаблон:Mvar-адических чисел обычно обозначается <math>\mathbb{Z}_p</math>.
Определение через проективный предел
В терминах проективных пределов кольцо целых <math>p</math>-адических чисел определяется как предел
- <math>\lim_{\leftarrow}\mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z}</math>
колец <math>\mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z}</math> вычетов по модулю <math>p^n</math> относительно естественных проекций <math>\mathbb{Z}/{p^{n+1}}\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/{p^n}\mathbb{Z}</math>.
Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа <math>p</math>, но и любого составного числа <math>m</math> — получится т. н. кольцо <math>m</math>-адических чисел, но это кольцо в отличие от <math>\mathbb{Z}_p</math> обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.
Свойства
Обычные целые числа вкладываются в <math>\mathbb{Z}_p</math> очевидным образом: <math>x=\{x,x,\ldots\}</math> и являются подкольцом.
Беря в качестве элемента класса вычетов число <math>a_n = x_n\,\bmod\,{p^n}</math> (таким образом, <math>0\le a_n<p^n</math>), мы можем записать каждое целое Шаблон:Mvar-адическое число в виде <math>x=\{a_1,a_2,\ldots\}</math> однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое <math>a_n</math> в [[позиционная система счисления|Шаблон:Mvar-ичной системе счисления]] <math>a_n=b_n\ldots b_2b_1</math> и, учитывая, что <math>a_n\equiv a_{n+1}\pmod{p^n}</math>, возможно всякое Шаблон:Mvar-адическое число в каноническом виде представить в виде <math>x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\}</math> или записать в виде бесконечной последовательности цифр в Шаблон:Mvar-ичной системе счисления <math>x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}</math>. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в Шаблон:Mvar-ичной системе счисления.
В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют Шаблон:Mvar-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют Шаблон:Mvar-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).
Шаблон:Mvar-адические числа
Определение как поля частных
Шаблон:Mvar-адическим числом называется элемент поля частных <math>\mathbb{Q}_p</math> кольца <math>\mathbb{Z}_p</math> целых Шаблон:Mvar-адических чисел. Это поле называется полем Шаблон:Mvar-адических чисел.
Свойства
Поле Шаблон:Mvar-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.
Нетрудно доказать, что любое целое Шаблон:Mvar-адическое число, не кратное Шаблон:Mvar, обратимо в кольце <math>\mathbb{Z}_p</math>, а кратное Шаблон:Mvar однозначно записывается в виде <math>xp^n</math>, где Шаблон:Mvar не кратно Шаблон:Mvar и поэтому обратимо, а <math>n>0</math>. Поэтому любой ненулевой элемент поля <math>\mathbb{Q}_p</math> может быть записан в виде <math>xp^n</math>, где Шаблон:Mvar не кратно Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar любое; если Шаблон:Mvar отрицательно, то, исходя из представления целых Шаблон:Mvar-адических чисел в виде последовательности цифр в Шаблон:Mvar-ичной системе счисления, мы можем записать такое Шаблон:Mvar-адическое число в виде последовательности <math>x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}</math>, то есть, формально представить в виде Шаблон:Mvar-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.
Метрическое построение
Любое рациональное число <math>r</math> можно представить как <math>r=p^n\frac ab</math> где <math>a</math> и <math>b</math> целые числа, не делящиеся на <math>p</math>, а <math>n</math> — целое. Тогда <math>|r|_p</math> — <math>p</math>-адическая норма <math>r</math> — определяется как <math>p^{-n}</math>. Если <math>r=0</math>, то <math>|r|_p=0</math>.
Поле <math>p</math>-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой <math>d_p</math>, определённой <math>p</math>-адической нормой: <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math>. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.
Норма <math>|r|_p</math> продолжается по непрерывности до нормы на <math>\mathbb{Q}_p</math>.
Свойства
- Каждый элемент Шаблон:Mvar поля Шаблон:Mvar-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда
- <math>x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i</math>
- где <math>n_0</math> — некоторое целое число, а <math>a_i</math> — целые неотрицательные числа, не превосходящие <math>p-1</math>. А именно, в качестве <math>a_i</math> здесь выступают цифры из записи Шаблон:Mvar в системе счисления с основанием Шаблон:Mvar. Такая сумма всегда сходится в метрике <math>d_p</math> к самому <math>x</math>.
- Шаблон:Mvar-адическая норма <math>|x|_p</math> удовлетворяет сильному неравенству треугольника
- <math>|x-z|_p\le\max\left\{|x-y|_p,|y-z|_p\right\}.</math>
- Числа <math>x\in \mathbb Q_p</math> с условием <math>|x|_p\le 1</math> образуют кольцо <math>\mathbb{Z}_p</math> целых Шаблон:Mvar-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел <math>\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}</math> в норме <math>|x|_p</math>.
- Числа <math>x\in \mathbb{Q}_p</math> с условием <math>|x|_p= 1</math> образуют мультипликативную группу и называются Шаблон:Mvar-адическими единицами.
- Совокупность чисел <math>x\in \mathbb{Q}_p</math> с условием <math>|x|_p<1</math> является главным идеалом в <math>\mathbb{Z}_p</math> с образующим элементом Шаблон:Mvar.
- Метрическое пространство <math>(\mathbb{Z}_p,d_p)</math> гомеоморфно канторову множеству, а пространство <math>(\mathbb{Q}_p,d_p)</math> гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
- Для различных Шаблон:Mvar нормы <math>|x|_p</math> независимы, а поля <math>\mathbb{Q}_p</math> неизоморфны.
- Для любых элементов <math>r_\infty</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math>, <math>r_5</math>, <math>r_7</math>, … таких, что <math>r_\infty \in \mathbb R</math> и <math>r_p\in \mathbb Q_p</math>, можно найти последовательность рациональных чисел <math>x_n</math> таких, что для любого Шаблон:Mvar выполнено <math>|x_i-r_p|_p\to 0</math> и <math>|x_i-r_\infty|\to 0</math>.
Применения
- Если <math>F(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех <math>k</math> сравнения
- <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}</math>
- эквивалентна разрешимости уравнения
- <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0</math>
- в целых <math>p</math>-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях <math>p</math>-адических чисел при всех <math>p</math>, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.
- На практике для проверки разрешимости уравнения в целых <math>p</math>-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений <math>k</math>. Например, согласно лемме Гензеля, при <math>n=1</math> достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных <math>k</math> служит наличие простого решения у сравнения по модулю <math>p</math> (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю <math>p</math>). Иначе говоря, при <math>n=1</math> для проверки наличия корня у уравнения в целых <math>p</math>-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при <math>k=1</math>.
- <math>p</math>-адические числа находят широкое применение в теоретической физике[3]. Известны <math>p</math>-адические обобщённые функции[4], p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)[5], p-адическая квантовая механика[6][7], p-адическая спектральная теория[8], p-адическая теория струн[9][10]
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — Шаблон:М: Мир, 1982.
- Серр Ж.-П. Курс арифметики, — Шаблон:М: Мир, 1972.
- Шаблон:Статья
- Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна
- ↑ Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.
- ↑ Шаблон:СтатьяШаблон:Ref-de
- ↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993
- ↑ Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53
- ↑ Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789
- ↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676
- ↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53
- ↑ Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990)
- ↑ Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84
- ↑ Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.
