Русская Википедия:Закон смещения Вина
Зако́н смеще́ния Ви́на — физический закон, устанавливающий зависимость длины волны, на которой спектральная плотность потока излучения чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.
Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению. Соответствующее смещение пика интенсивности с температурой наблюдалось и экспериментально. В настоящее время закон смещения Вина может быть получен математически из закона Планка.
Общий вид закона смещения Вина
Закон выражается формулой
- <math>\lambda_\text{max} = b/T,</math>
где <math>\lambda_\text{max}</math> — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а <math>T</math> — температура. Коэффициент <math>b = \frac{ch}{k\alpha}</math> (где Шаблон:Mvar — скорость света в вакууме, Шаблон:Mvar — постоянная Планка, Шаблон:Mvar — постоянная Больцмана, Шаблон:Mvar ≈ 4,965114… — постоянная величина, корень уравнения <math>\alpha / 5 = 1 - e^{-\alpha}</math>), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.
Для частоты света <math>\nu</math> (в герцах) закон смещения Вина имеет вид
- <math>\nu_\text{max} = \frac{\alpha}{h} kT \approx 5{,}879 \times 10^{10} \cdot T,</math>
где Шаблон:Math ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения <math>\alpha / 3 = 1 - e^{-\alpha}</math>), Шаблон:Mvar — постоянная Больцмана, Шаблон:Mvar — постоянная Планка, Шаблон:Mvar — температура (в кельвинах).
Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит <math>\lambda^{-5}</math>, в другом — <math>\omega^3 \sim \lambda^{-3}</math>. Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:
- <math>\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, \quad \frac{d}{d\omega} = -\frac{\lambda^2}{2\pi c} \frac{d}{d\lambda}.</math>
Вывод закона
Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для испускательной способности <math>\varepsilon_{\lambda}(\lambda, T)</math> абсолютно чёрного тела, записанное для длин волн:
- <math>\varepsilon_{\lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1}.</math>
Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по <math>\lambda</math> и приравнять производную нулю:
- <math>\frac{\partial\varepsilon_{\lambda}}{\partial \lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^6} \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1} \left( \frac{hc}{kT \lambda}\frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 \right) = 0.</math>
Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда <math>\lambda \to \infty</math> или когда <math>e^{hc/\lambda kT} \to \infty</math>, что выполняется при <math>\lambda \to 0</math>. Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка <math>B(\lambda)</math>, которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда
- <math>\frac{hc}{kT \lambda} \frac{e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT} - 1\right)} - 5 = 0.</math>
Используя замену переменных <math>x = \frac{hc}{kT \lambda}</math>, данное уравнение можно преобразовать к виду
- <math>\frac{x e^x}{e^x - 1} - 5 = 0.</math>
Численное решение этого уравнения даёт[1]
- <math>x = 4{,}965114231744276\ldots</math>
Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума:
- <math>\lambda_\text{max} = \frac{hc}{x} \frac{1}{kT} = \frac{2{,}89776829\ldots \times 10^{-3}}{T},</math>
где температура дана в кельвинах, а <math>\lambda_\text{max}</math> — в метрах.
Примеры
Согласно закону смещения Вина, чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.
Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.
См. также
Примечания
Ссылки
- ↑ Решение уравнения <math>\frac{x e^x}{e^x - 1} = n</math> невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Статистическая физика
- Астрофизика
- Оптика
- Взаимодействие оптического излучения с веществом
- Именные законы и правила
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии