Электроника:Постоянный ток/Анализ сети постоянного тока/Метод узловых потенциалов: различия между версиями
Myagkij (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Панель управления/Электроника}} {{Перевод от valemak}} {{Myagkij-редактор}} =<ref>[ www.allaboutcircuits.com - ]</r...») |
Нет описания правки |
||
(не показано 8 промежуточных версий 1 участника) | |||
Строка 3: | Строка 3: | ||
{{Myagkij-редактор}} | {{Myagkij-редактор}} | ||
=<ref>[ www.allaboutcircuits.com - ]</ref>= | =Метод узловых потенциалов<ref>[https://www.allaboutcircuits.com/textbook/direct-current/chpt-10/node-voltage-method/ www.allaboutcircuits.com - Node Voltage Method]</ref>= | ||
Аналитический метод узловых потенциалов находит неизвестные напряжения в узлах схемы с помощью системы уравнений [[ПКТ]] ([[правило Кирхгофа для силы тока]]). Такой подход выглядит необычным, поскольку он предполагает замену источников напряжения эквивалентными источниками тока. Более того, значения сопротивлений в омах заменяются на эквивалентную электрическую проводимость ([[электропроводность]] или просто проводимость) измеряемую в сименсах, G = 1/R. Сименс (См, англ. S) – это единица электрической проводимости, заменившая устаревшую единицу измерения мо (англ. mho). В любом случае, См = Ом<sup>-1</sup>. И См показывает то же самое, что и устаревшее мо. | |||
== Метод расчёта узловых потенциалов == | |||
Начнем со схемы, на которой изображены обычные источники напряжения. Выберем общий узел Е<sub>0</sub> в качестве опорной точки. Узловые напряжения E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub> вычисляются относительно этой точки. | |||
[[File:Схема с обычными источниками напряжения_1_17122020_2154.jpg|frame|center|'''Рис. 1.''' Схема с обычными источниками напряжения.|alt=Рис. 1. Схема с обычными источниками напряжения.]] | |||
[[File:Такой будет замена узлов на схеме, вместо источников напряжения теперь источники тока_2_17122020_2155.jpg|frame|center|'''Рис. 2.''' Такой будет замена узлов на схеме, вместо источников напряжения теперь источники тока. Последовательные (по отношению к источнику напряжения) резисторы становятся параллельными (по отношению к источнику тока). Величина силы тока подбирается таким образом, чтобы в ветви создавалось эквивалентное напряжение.|alt=Рис. 2. Такой будет замена узлов на схеме, вместо источников напряжения теперь источники тока. Последовательные (по отношению к источнику напряжения) резисторы становятся параллельными (по отношению к источнику тока). Величина силы тока подбирается таким образом, чтобы в ветви создавалось эквивалентное напряжение.]] | |||
Замена источников напряжения и связанных последовательных [[резисто]]ров эквивалентными источниками тока и параллельными [[резистор]]ами приводит к изменениям в схеме. Заменяем [[сопротивление]] в омах электрической проводимостью в сименсах. | |||
<syntaxhighlight lang="c"> | |||
I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A | |||
I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A | |||
G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0.5 S | |||
G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0.25 S | |||
G3 = 1/R3 = 1/2.5 Ω = 0.4 S | |||
G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0.2 S | |||
G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1.0 S | |||
</syntaxhighlight> | |||
[[File:Вместо источников напряжения – источники тока_3_17122020_2155.jpg|frame|center|'''Рис. 3.''' Вместо источников напряжения – источники тока (сила тока такова, чтобы создавалось эквивалентное напряжение). Вместо последовательных резисторов – параллельные. Вместо сопротивления - электрическая проводимость.|alt=Рис. 3. Вместо источников напряжения – источники тока (сила тока такова, чтобы создавалось эквивалентное напряжение). Вместо последовательных резисторов – параллельные. Вместо сопротивления - электрическая проводимость.]] | |||
Можно ещё упростить, объединив параллельные проводимости (бывшие сопротивления). Но перерисовывать схему не будем. Она уже и так готова к применению метода узлового напряжения. | |||
<syntaxhighlight lang="c"> | |||
GA = G1 + G2 = 0,5 S + 0,25 S = 0,75 S | |||
GB = G4 + G5 = 0,2 S + 1 S = 1,2 S | |||
</syntaxhighlight> | |||
Исходя из общих принципов метода узлового напряжения, мы составим пару уравнений [[ПКТ]], подставив в них узловые напряжения V<sub>1</sub> и V<sub>2</sub>. Мы делаем это, чтобы проиллюстрировать схему написания обходных уравнений. | |||
<syntaxhighlight lang="c"> | |||
GAE1 + G3 (E1 - E2) = I1 (1) | |||
GBE2 - G3 (E1 - E2) = I2 (2) | |||
(GA + G3) E1 -G3E2 = I1 (1) | |||
-G3E1 + (GB + G3) E2 = I2 (2) | |||
</syntaxhighlight> | |||
Коэффициенты последней пары уравнений выше перегруппированы, чтобы показать закономерность. Сумма проводимостей, подключённых к первому узлу, является положительным коэффициентом первого напряжения в уравнении (1). Сумма проводимостей, подключённых ко второму узлу, является положительным коэффициентом второго напряжения в уравнении (2). Остальные коэффициенты отрицательны и представляют собой проводимость между узлами. | |||
Для обоих уравнений правая часть равна соответствующему источнику тока, подключённого к узлу. Этот шаблон позволяет нам быстро писать обходные уравнения. Это приводит к набору правил для аналитического метода узловых потенциалов. | |||
==Правила узловых потенциалов:== | |||
* Преобразуйте источник напряжения, включенный последовательно с резистором, в эквивалентный источник тока с параллельным резистором. | |||
* Измените значения сопротивления на электропроводность. | |||
* Выберите опорный узел (E<sub>0</sub>). | |||
* Обозначьте на остальных узлах неизвестные напряжения (E<sub>1</sub>)(E<sub>2</sub>)...(E<sub>N</sub>). | |||
* Напишите уравнение [[ПКТ]] для каждого узла 1, 2, ..., N. Положительный коэффициент первого напряжения в первом уравнении представляет собой сумму проводимостей, подключенных к узлу. Коэффициент для второго напряжения во втором уравнении – это сумма проводимостей, подключенных к этому узлу. Повторите это для коэффициента третьего напряжения в третьем уравнении и так далее и для остальных уравнений. Если уравнения написать по порядку одно под другим, то эти коэффициенты расположены как бы «по диагонали». | |||
* Все остальные коэффициенты для всех уравнений отрицательны и представляют собой проводимости между узлами. Первое уравнение, второй коэффициент – это проводимость участка от узла 1 к узлу 2, третий коэффициент – это проводимость участка от узла 1 к узлу 3. Аналогично заполняются отрицательные коэффициенты для других уравнений. | |||
* Правая часть уравнений – это источник тока, подключенный к соответствующим узлам. | |||
* Решите систему уравнений для неизвестных напряжений в узлах. | |||
==Пример применения метода узловых потенциалов== | |||
{{Блок/Инфо2|Задание:|Составьте уравнения и решите для напряжений в узлах, используя числовые значения на рисунке выше.}} | |||
{{Блок/Инфо3|1=Решение:|2= | |||
<syntaxhighlight lang="c"> | |||
(0,5 + 0,25 + 0,4) E1 - (0,4) E2 = 5 | |||
- (0,4) E1 + (0,4 + 0,2 + 1,0) E2 = -4 | |||
(1.15) E1 - (0.4) E2 = 5 | |||
- (0,4) E1 + (1,6) E2 = -4 | |||
E1 = 3,8095 | |||
E2 = -1,5476 | |||
</syntaxhighlight> | |||
{{ads2}} | |||
Решение этой системы из двух уравнений может быть выполнено с помощью калькулятора или программы Октава (этот вариант тут не показан). Решение проверено в [[SPICE]] на основе оригинальной принципиальной схемы с источниками напряжения. Хотя в [[SPICE]] можно смоделировать и схему с источниками тока. | |||
<syntaxhighlight lang="c"> | |||
V1 11 0 DC 10 | |||
V2 22 0 DC -4 | |||
r1 11 1 2 | |||
r2 1 0 4 | |||
r3 1 2 2.5 | |||
r4 2 0 5 | |||
r5 2 22 1 | |||
.DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1 | |||
.print DC V(1) V(2) | |||
.end | |||
v(1) v(2) | |||
3.809524e+00 -1.547619e+00 | |||
</syntaxhighlight> | |||
Посмотрим ещё один пример. Здесь три узла. На принципиальной схеме проводимость не указываем. Однако она просто вычисляется: G<sub>1</sub> = 1/R<sub>1</sub>, G<sub>2</sub> = 1/R<sub>2</sub> и т.д. | |||
[[File:Схема из прошлой лекции с несбалансированным мостом Витстона_4_17122020_2155.jpg|frame|center|'''Рис. 4.''' Схема из прошлой лекции с несбалансированным мостом Витстона. Вместо источника напряжения – источник тока.|alt=Рис. 4. Схема из прошлой лекции с несбалансированным мостом Витстона. Вместо источника напряжения – источник тока.]] | |||
Есть три узла, для которых можно написать обходные уравнения. Обратите внимание, что для уравнения (1) положителен коэффициент у E<sub>1</sub>, для уравнения (2) положителен коэффициент у E<sub>2</sub> и для уравнения (3) положителен коэффициент у E<sub>3</sub>. Эти коэффициенты – суммы всех проводимостей, подключенных к этим узлам. Все остальные коэффициенты отрицательны, что соответствует проводимости между узлами. Правая часть уравнений – это связанный источник тока, 0,136092 А для единственного источника тока в узле 1. Остальные уравнения в правой части равны нулю из-за отсутствия источников тока. Нам лень рассчитывать проводимости [[резистор]]ов на схеме. Таким образом, G в нижнем индексе – это коэффициенты. | |||
<syntaxhighlight lang="c"> | |||
(G1 + G2) E1 -G1E2 -G2E3 = 0,136092 | |||
-G1E1 + (G1 + G3 + G4) E2 -G3E3 = 0 | |||
-G2E1 -G3E2 + (G2 + G3 + G5) E3 = 0 | |||
</syntaxhighlight> | |||
Мы настолько ленивы, что вводим взаимные сопротивления и суммы взаимных сопротивлений в матрицу Октавы «А», позволяя Октаве вычислить матрицу проводимости после «А =». Первоначальная входящая строка была такой длинной, что её разбили на три ряда. Это отличается от предыдущих примеров. Введённая матрица «А» ограничена начальной и конечной квадратными скобками. Столбцы матрицы разделяются пробелами. Строки матрицы разделяются символом «перевод строки». Запятые и точки с запятой в качестве разделителей не нужны. Тем не менее, вектор тока в «b» разделён точкой с запятой, чтобы получить вектор-столбец токов. | |||
<syntaxhighlight lang="c"> | |||
octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50 | |||
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100 | |||
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250] | |||
A = | |||
0.0266667 -0.0066667 -0.0200000 | |||
-0.0066667 0.0200000 -0.0100000 | |||
-0.0200000 -0.0100000 0.0340000 | |||
octave:13> b = [0.136092;0;0] | |||
b = | |||
0.13609 | |||
0.00000 | |||
0.00000 | |||
octave:14> x=A\b | |||
x = | |||
24.000 | |||
17.655 | |||
19.310 | |||
</syntaxhighlight> | |||
Обратите внимание, что диагональные коэффициенты матрицы «A» положительны, а все остальные коэффициенты отрицательны. | |||
Решение в виде вектора напряжения находится в точке «x». E<sub>1</sub> = 24,000 В, E<sub>2</sub> = 17,655 В, E<sub>3</sub> = 19,310 В. Эти три напряжения оказываются равными предыдущим значениям контурных токов (из прошлой лекции, где мы решили такой же мост другим методом) и с решениями [[SPICE]] для того несимметричного моста. Это не случайное совпадение, так как источник тока, равный 0,13609 А был специально подобран так, чтобы он оказался эквивалентным источнику напряжения 24 В, используемого в прошлый раз в такой же задаче. | |||
}} | |||
==Итог== | |||
* Для сети, состоящей из элементов с электропроводностью и источников тока, аналитический метод узловых потенциалов находит неизвестные напряжения в узлах с помощью уравнений ПКТ. | |||
* Подробные рекомендации по составлению обходных уравнений – см. вышеприведённые в этой лекции правила. | |||
* Единица проводимости G – сименс (S). Проводимость обратно пропорциональна сопротивлению: G = 1/R. | |||
=См.также= | =См.также= | ||
=Внешние ссылки= | =Внешние ссылки= | ||
Строка 15: | Строка 149: | ||
<references /> | <references /> | ||
{{Навигационная таблица/Электроника}} | {{Навигационная таблица/Портал/Электроника}} | ||
[[Категория:Теория]] | |||
[[Категория:Теория по электронике]] | |||
[[Категория:Постоянный ток]] | |||
[[Категория:Анализ сети постоянного тока]] | |||
[[Категория:Метод узловых потенциалов]] |
Текущая версия от 21:46, 22 мая 2023
Метод узловых потенциалов[1]
Аналитический метод узловых потенциалов находит неизвестные напряжения в узлах схемы с помощью системы уравнений ПКТ (правило Кирхгофа для силы тока). Такой подход выглядит необычным, поскольку он предполагает замену источников напряжения эквивалентными источниками тока. Более того, значения сопротивлений в омах заменяются на эквивалентную электрическую проводимость (электропроводность или просто проводимость) измеряемую в сименсах, G = 1/R. Сименс (См, англ. S) – это единица электрической проводимости, заменившая устаревшую единицу измерения мо (англ. mho). В любом случае, См = Ом-1. И См показывает то же самое, что и устаревшее мо.
Метод расчёта узловых потенциалов
Начнем со схемы, на которой изображены обычные источники напряжения. Выберем общий узел Е0 в качестве опорной точки. Узловые напряжения E1 и E2 вычисляются относительно этой точки.
![Рис. 1. Схема с обычными источниками напряжения.](/ruwiki/images/6/6e/%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81_%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_1_17122020_2154.jpg)
![Рис. 2. Такой будет замена узлов на схеме, вместо источников напряжения теперь источники тока. Последовательные (по отношению к источнику напряжения) резисторы становятся параллельными (по отношению к источнику тока). Величина силы тока подбирается таким образом, чтобы в ветви создавалось эквивалентное напряжение.](/ruwiki/images/6/66/%D0%A2%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%B1%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%82_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B2_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B5%2C_%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BE_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%8C_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0_2_17122020_2155.jpg)
Замена источников напряжения и связанных последовательных резисторов эквивалентными источниками тока и параллельными резисторами приводит к изменениям в схеме. Заменяем сопротивление в омах электрической проводимостью в сименсах.
I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0.5 S
G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0.25 S
G3 = 1/R3 = 1/2.5 Ω = 0.4 S
G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0.2 S
G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1.0 S
![Рис. 3. Вместо источников напряжения – источники тока (сила тока такова, чтобы создавалось эквивалентное напряжение). Вместо последовательных резисторов – параллельные. Вместо сопротивления - электрическая проводимость.](/ruwiki/images/b/bd/%D0%92%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BE_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%E2%80%93_%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%B0_3_17122020_2155.jpg)
Можно ещё упростить, объединив параллельные проводимости (бывшие сопротивления). Но перерисовывать схему не будем. Она уже и так готова к применению метода узлового напряжения.
GA = G1 + G2 = 0,5 S + 0,25 S = 0,75 S
GB = G4 + G5 = 0,2 S + 1 S = 1,2 S
Исходя из общих принципов метода узлового напряжения, мы составим пару уравнений ПКТ, подставив в них узловые напряжения V1 и V2. Мы делаем это, чтобы проиллюстрировать схему написания обходных уравнений.
GAE1 + G3 (E1 - E2) = I1 (1)
GBE2 - G3 (E1 - E2) = I2 (2)
(GA + G3) E1 -G3E2 = I1 (1)
-G3E1 + (GB + G3) E2 = I2 (2)
Коэффициенты последней пары уравнений выше перегруппированы, чтобы показать закономерность. Сумма проводимостей, подключённых к первому узлу, является положительным коэффициентом первого напряжения в уравнении (1). Сумма проводимостей, подключённых ко второму узлу, является положительным коэффициентом второго напряжения в уравнении (2). Остальные коэффициенты отрицательны и представляют собой проводимость между узлами.
Для обоих уравнений правая часть равна соответствующему источнику тока, подключённого к узлу. Этот шаблон позволяет нам быстро писать обходные уравнения. Это приводит к набору правил для аналитического метода узловых потенциалов.
Правила узловых потенциалов:
- Преобразуйте источник напряжения, включенный последовательно с резистором, в эквивалентный источник тока с параллельным резистором.
- Измените значения сопротивления на электропроводность.
- Выберите опорный узел (E0).
- Обозначьте на остальных узлах неизвестные напряжения (E1)(E2)...(EN).
- Напишите уравнение ПКТ для каждого узла 1, 2, ..., N. Положительный коэффициент первого напряжения в первом уравнении представляет собой сумму проводимостей, подключенных к узлу. Коэффициент для второго напряжения во втором уравнении – это сумма проводимостей, подключенных к этому узлу. Повторите это для коэффициента третьего напряжения в третьем уравнении и так далее и для остальных уравнений. Если уравнения написать по порядку одно под другим, то эти коэффициенты расположены как бы «по диагонали».
- Все остальные коэффициенты для всех уравнений отрицательны и представляют собой проводимости между узлами. Первое уравнение, второй коэффициент – это проводимость участка от узла 1 к узлу 2, третий коэффициент – это проводимость участка от узла 1 к узлу 3. Аналогично заполняются отрицательные коэффициенты для других уравнений.
- Правая часть уравнений – это источник тока, подключенный к соответствующим узлам.
- Решите систему уравнений для неизвестных напряжений в узлах.
Пример применения метода узловых потенциалов
Итог
- Для сети, состоящей из элементов с электропроводностью и источников тока, аналитический метод узловых потенциалов находит неизвестные напряжения в узлах с помощью уравнений ПКТ.
- Подробные рекомендации по составлению обходных уравнений – см. вышеприведённые в этой лекции правила.
- Единица проводимости G – сименс (S). Проводимость обратно пропорциональна сопротивлению: G = 1/R.
См.также
Внешние ссылки